איזומטריה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בטופולוגיה, איזומטריה היא פונקציה משמרת מרחק ממרחב מטרי אחד על מרחב מטרי אחר. מרחבים שיש ביניהם איזומטריה הם איזומטריים, ויש להם אותן תכונות מטריות.

כל איזומטריה היא חד-חד-ערכית (כי היא מעתיקה נקודות שהמרחק ביניהן חיובי לנקודות שהמרחק ביניהן חיובי). לכן איזומטריות הן האיזומורפיזמים של מרחבים מטריים.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

איזומטריה ממרחב מטרי (עם מטריקה ) למרחב המטרי (עם המטריקה בהתאמה) היא פונקציה , חח"ע ועל המקיימת לכל .

איזומטריות שומרות על מסילות גאודזיות.

איזומטריות במישור האוקלידי[עריכת קוד מקור | עריכה]

איזומטריות של המישור שומרות על אורכי קטעים, ולכן (לפי משפט החפיפה צלע-צלע-צלע) הן שומרות זוויות. התכונה הבסיסית של איזומטריות של המישור היא שהן מוכרחות לשמור על הקווים הישרים (כלומר, קו ישר תמיד יעבור לקו ישר). בהתאם לכך, יש שלושה סוגים בסיסיים של איזומטריות: שיקוף, סיבוב, והזזה. בעזרת פעולות אלה אפשר לתאר את כל שאר האיזומטריות, השייכות לאחת מבין ארבע משפחות:

  • הזזה - ישנו כיוון יחיד שכל הנקודות מוזזות בו. אין נקודות שבת אלא אם ההזזה ב-0 ואז זו איזומטרית הזהות. הישרים שבכיוון ההזזה נשמרים.
  • שיקוף - ישר קבוע מתפקד כציר סימטריה; כל נקודה עוברת למקבילה לה מצידו השני, כלומר, ציר השיקוף הוא האנך האמצעי לקטע בין נקודה לתמונתה. כאן ציר השיקוף מהווה את אוסף נקודות השבת. לשיקוף יש אינסוף קבוצות קבועות (קבוצות אשר פעולת האיזומטריה עליהן מחזירה אותן).
  • סיבוב - מסובבים את המישור בזווית נתונה (לא טריוויאלית) סביב נקודה קבועה. ישנה נקודת שבת אחת והיא הנקודה הקבועה אלא אם הסיבוב בזווית המתחלקת ב-360 ללא שארית או שהזווית = 0 ואז זו איזומטרית הזהות.
  • החלקה (או שיקוף מוזז) - זוהי הרכבה של שיקוף ושל הזזה בכיוון ציר השיקוף. שתי העתקות כנ"ל מתחלפות בכפל, כלומר לא משנה איזו מהן מבוצעת קודם. אין נקודות שבת.

אחרי שקובעים את הראשית, אפשר לכתוב כל איזומטריה בצורה כאשר היא מטריצה אורתוגונלית ו- הוא וקטור ההזזה. כאן היא איזומטריה שמשמרת את הראשית. לכן ניתן לחשוב על איזומטריה כאיבר ב- ( היא חבורת המטריצות האורתוגונליות)

במכפלה הזו, המרכיב פועל על המישור לפי פעולת המטריצות. ביתר פירוט, אם עבור , אז .

פרוש הדבר הוא שחבורת האיזומטריות של המישור היא מכפלה חצי ישרה של ושל .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]