אינוולוציה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
הפעלת אינוולוציה פעמיים מחזירה את האיבר המקורי

במתמטיקה, אינוולוציה היא פונקציה שהיא ההופכית של עצמה. כלומר, פונקציה חד חד ערכית בין שתי קבוצות , המקיימת את התכונה לכל .

דוגמה יסודית לאינוולוציה היא הפעולה של לקיחת משלים של קבוצה, או הפעולה של שלילת פסוק לוגי. בתחומים מסוימים במתמטיקה ל"אינוולוציה" יש משמעות מסוימת בהקשר בה היא מוגדרת. כך למשל בתורת החבורות, כל איבר מסדר 2 הוא אינוולוציה (למעשה איבר הוא אינוולוציה אם ורק אם ההומומורפיזם הוא אינוולוציה כפונקציה).

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מן ההגדרה נובע שאינוולוציות הן תמיד פעולות אונריות חד-חד-ערכיות. כלומר הן תמורות על תמונתן. תמורה היא אינוולוציה אם ורק אם בפירוק שלה למחזורים זרים מופיעים רק חילופים ונקודות שבת.

מספר האינוולוציות שמוגדרות על קבוצה סופית של n איברים נקרא מספר־טלפון ה-n-י (סדרה A000085 ב-OEIS). מספרים אלו מקיימים את נוסחת הנסיגה:

הוכחה: נניח ללא הגבלת הכלליות שהקבוצה היא . יש אינוולוציות שבהן n נקודת שבת (כל אינוולוציה כזו מתאימה לאינוולוציה אחת על ). יש אינוולוציות שבהן n עובר ל- (כל אינוולוציה כזו מתאימה לאינוולוציה אחת על ). יש ערכים אפשריים ל-. ▯

המספרי־טלפון הראשונים הם: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]