אינטגרל קווי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

המחשת אינטגרל קווי

במתמטיקה, אינטגרל קווי (לעתים גם אינטגרל לאורך עקום, אינטגרל מסלולי או אינטגרל מסילתי) הוא אינטגרל המחושב לאורך מסילה במרחב, ולאו דווקא לאורך קטע ממשי. כמו האינטגרל הרגיל, האינטגרל הקווי מסכם ערכים של פונקציה נתונה ומשקלל אותם לפי אורך המסילה, באופן המכליל סיכום של מספר סופי של ערכים. הפונקציה שאת האינטגרל שלה מחשבים עשויה לקבל ערכים ממשיים, או ערכים וקטוריים בכל מרחב בנך (ובכלל זה המרחב האוקלידי).

האינטגרל נקרא לפעמים מסוג ראשון כאשר הוא מסכם פונקציה סקלרית (ממשית או מרוכבת), או מסוג שני כאשר הוא מסכם פונקציה וקטורית. האינטגרל מהסוג השני הוא למעשה סכום של רכיבים של וקטור, שרכיביו הם בעצמם אינטגרלים מהסוג הראשון. לשני הסוגים ישנן משמעויות פיזיקליות שונות, ולכן לעתים דרך הטיפול בהם שונה.

הצורך באינטגרל קווי עולה בעת ניתוח גדלים הקשורים בתנועה במסלול שאינו ישר, או בתכונות פיזיקליות של גוף עקום, כגון חוט דק. בדרך זו, ניתן לחשב גדלים כדוגמת אורך, מסה, או מטען חשמלי. האינטגרל הקווי מחשב כוח הפועל על גוף המיוצג על ידי עקום, או עבודה של כוח המניע מסה לאורכו, כמו גם התנהגות של שדות פיזיקליים (למשל, שדה חשמלי) על פני מסלולים.

לאינטגרלים קוויים של פונקציות אנליטיות או הרמוניות ישנן תכונות מתמטיות הקושרות אותם לערכי הפונקציה במשטח שאותו סוגר העקום. בקשרים אלה עוסקים כמה משפטים באנליזה מרוכבת, באנליזה וקטורית ובאנליזה הרמונית.

נהוג לסמן אינטגרל קווי לאורך מסלול C בסימן \ \int_{C}. אם C הוא מסלול סגור, מסמנים אותו לעתים \ \oint_{C}. לעתים מסמנים אינטגרל קווי באופן זהה לזה של אינטגרל לא מסוים או בדומה לאינטגרל מסוים, כאשר בתחתית ה-S הארוכה מציינים את נקודת התחלת המסלול ובראשה את נקודת סיומו, בשני המקרים תוך ציון מילולי כי האינטגרציה נעשית לאורך העקום.

מבוא[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אינטגרל
איור זה ממחיש את מושג האינטגרל של רימן – חישוב השטח מתחת לגרף של פונקציה על ידי חלוקתו למלבנים קטנים יותר ויותר וסכימת שטחיהם.
ניתן לקבל קירוב עבור העקום השחור על ידי בנית סדרת קטעים ישרים, המסומנים באיור בקווים מרוסקים. קל לראות כי ככל שאורכי הקטעים המקרבים את העקום קטנים, כך גדל דיוקו של הקירוב. לחצו על התמונה להגדלה.
באיור עקום חלק למקוטעין. זהו עקום רציף שמספר הנקודות בו הנגזרת איננה קיימת – נקודות בהן גרף הפונקציה "מחודד" – הוא סופי.
האינטגרל של צפיפות המסה של העקום שווה למסה הכוללת. באיור מופיעים חלקי העקום המקורבים על ידי קווים ישרים, כך שנבחרה חלוקה בה אורך כל קטע הנו מילימטר. ליד כל חלק מופיע ערכה של צפיפות המסה בנקודה יציגה כלשהי בקטע זה, המייצג בקירוב את הערך בכל נקודה בקטע. לאחר סכימת ערכי הצפיפות באורך הקטע בכל קטע, מתקבלת, בקירוב, מסת העקום. כשאורך הקטע המקסימלי שואף לאפס, סכום המסות שואף למסה האמיתית.

אינטגרציה היא שיטה לחישוב גדלים על ידי סכימת אלמנטים קטנים, שגודלם שואף לאפס ומספרם שואף לאינסוף. האינטגרל המסוים של פונקציה בקטע נתון מחושב על ידי חלוקת הקטע לתת-קטעים קטנים, וסיכום כל המכפלות של ערכי הפונקציה ב"נקודה יציגה" שנבחרת בכל תת-קטע באורכי תת-הקטעים המתאימים. סכום כזה נקרא "סכום רימן", על שמו של המתמטיקאי ברנרד רימן. לעתים קרובות מתברר שאם מעדנים את החלוקה כך שתת-הקטעים נעשים קטנים יותר ויותר, סכומי רימן הולכים ומתקרבים לערך קבוע, ללא תלות באופן החלוקה ובנקודות שנבחרו בתת-הקטעים. במקרה כזה נקרא הערך המתקבל - "אינטגרל רימן" של הפונקציה בקטע. האינטגרל מחשב שטח: אם הפונקציה חיובית, האינטגרל שלה שווה לשטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין הציר של המשתנה שעל פיו מחושב האינטגרל.

באופן דומה, ניתן להגדיר אינטגרלים שבהם המכפלות המחושבות הן שונות. בפרט, ניתן להגדיר אינטגרלים שבהם המכפלות הנסכמות הן מכפלות של ערכי פונקציה מסוימת באורכי חלקים קטנים של עקום נתון, או בהיטליהם על הצירים. בחישוב אינטגרלים מסוג זה מתעורר קושי בחישוב אורכו של עקום, או חלק ממנו (ללא כלים של חשבון אינפיניטסימלי), משום שהגאומטריה הקלאסית אינה מספקת כלים לחישוב אורך עקום כלשהו במקרה הכללי.

לצורך ניתוח בעיית חישוב האורך, מבוצע על עקום רציף (כלומר – בשפה פשוטה – עקום שניתן לציירו "מבלי להרים את העיפרון מהדף") ההליך הבא: על העקום מוקצות מספר נקודות וכל שתי נקודות סמוכות מחוברות זו לזו על ידי מיתרים (ראו איור שני מלמעלה). כך, מתקבל קו שבור שמהווה קירוב לעקום. ככל שהחלוקה היא לנקודות צפופות יותר ויותר, כך מתקבל קו שבור אשר מקורב לעקום בצורה טובה יותר. כשאורך המיתר הארוך ביותר שואף לאפס, מתקבל קו שבור המקרב את העקומה בצורה מיטבית. ניתן להשתמש בקירוב זה של העקום על מנת לחשב אינטגרל עבור ערכים של פונקציה המוגדרת לאורך העקום.

מבחינת הנדסית, כשם שבבניית האינטגרל המסוים מחושב השטח המכוון שבין גרף הפונקציה לציר ה-x, כך המשמעות ההנדסית של האינטגרל הקווי היא השטח שבין גרף הפונקציה לעקום, כשאת תפקידו של ציר ה- x ממלא בבנייה זו הקו העקום.

הגדרות ונוסחאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אינטגרל קווי מסוג ראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

סימון: \ \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n) – זהו וקטור המקום המציג את שיעוריה של נקודה כלשהי במרחב. הפונקציה \rho (\vec{x}) \in \mathbb{R}^n הנה שדה סקלרי במרחב בעל מספר ממדים כלשהו, המוגדר וחסום בתחום האינטגרציה. על פונקציה זו מתבצעת האינטגרציה. לעתים נקראת פונקציה זו "פונקציית הצפיפות" שכן עבור שימושים רבים של האינטגרל הקווי מסוג זה, היא מבטאת צפיפות של גודל פיזיקלי מסוים. העקומה עליה תתבצע האינטגרציה תסומן באות C. על עקומה זו להיות חלקה למקוטעין, כלומר - מספר הנקודות בו נגזרת הפונקציה המתארת את המסילה איננה קיימת – נקודות בהן גרף הפונקציה "מחודד" – הוא סופי. ראו איור שלישי מלמעלה להמחשה.

המסילה מתוארת על ידי פרמטריזציה

\vec p: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n, \vec{p}=(x_1(t), \cdots, x_n(t))

כאשר  \ [a,b] מבטא את קטע המסילה C עליו אנו מבצעים את האינטגרציה. כלומר, העקום מתואר על ידי משוואה פרמטרית המתאימה ערכים של הפרמטר \ t לשיעורי נקודות על העקום.

משמעות היותה של C "חלקה למקוטעין" היא שבקטע  \ [a,b] הפונקציה המתארת את העקום הנה רציפה וגזירה ברציפות בתחום האינטגרציה, למעט במספר סופי של נקודות. על הפרמטריזציה של העקומה להיות חד-חד ערכית ובעלת נורמה (בהקשר זה "גודל") שונה מאפס. במקרה זה, משמעות הפרמטריזציה היא התאמה בין ערכי הפרמטר \ t לבין נקודות על העקום. כלומר, לכל ערך של \ t בתחום האינטגרציה  \ [a,b] מתאימה נקודה על העקום ולהיפך - לכל נקודה על העקום מתאים ערך של \ t בתחום  \ [a,b]. כך, ישנה התאמה בין כל הערכים של \ t בתחום  \ [a,b] לבין כל הנקודות של העקום. בשפה פשוטה, העקום מתואר בשלמותו על ידי ערכים של \ t בתחום  \ [a,b].

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

על העקומה \ C מבוצע ההליך של חלוקה למספר כלשהו של קטעים על ידי בחירה שרירותית של נקודות ומתיחת קווים ישרים ביניהן. הצורה המתקבלת הנה קו שבור המורכב ממיתרים ומקרב את העקום. בכל חלק של הקו השבור נבחרת באופן שרירותי נקודה אשר תסומן \ \vec {\xi_i}. זוהי "נקודה מייצגת". הערך שמקבלת הפונקציה באותה נקודה הנו \ \rho (\vec{\xi_i}). זהו "ערך מייצג" של הפונקציה באותו הקטע. קירוב "סכום הערכים" שמקבלת הפונקציה בכל קטע נתון על ידי המכפלה \ \rho (\vec{\xi_i}) \Delta \ell_i כאשר \ \Delta \ell_i הוא אורך הקטע המקרב את הקשת עליה הוא נשען. סכימת כל המכפלות באותו הקטע,  \sum_{i} \rho (\vec{\xi_i}) \Delta \ell_i, נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של הפונקציה על העקום המקורי. את החלוקה מעדנים יותר ויותר על ידי בחירת נקודות נוספות ובנייה מחודשת של קטעים על פי כל הנקודות שנבחרות על העקום. ככל שהליך זה נמשך, עולה רמת הדיוק של קירוב הקשת על ידי אוסף מיתרים. עתה, מפעילים גבול במצב שבו אורך כל קטע ישר המקרב את העקום שואף לאפס: \lim_{\max \Delta \ell_i \rightarrow 0} \sum_{i} \rho (\vec{\xi_i}) \Delta \ell_i. זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור \int_{C} \rho (\vec{x}) dl ונקרא "אינטגרל קווי מסוג ראשון".

הערה: באופן דומה, במקום לחלק את הקטע, ניתן לפנות ישירות אל הגדרת האינטגרל על פי רימן ולפיכך להגדיר \ \int_{C} f dl = \int_{0}^{\text{Length}(C)} f(\gamma(l))dl כאשר \gamma(l)\, היא הפרמטריזציה של העקום לפי האורך.

נוסחה לחישוב[עריכת קוד מקור | עריכה]

חישובו של סכום זה ישירות איננו מעשי מפאת מורכבותו ולכן מקרבים אותו על ידי סכום אחר אשר חישובו ידוע, זהו הסכום האינטגרלי של רימן המגדיר את האינטגרל המסוים, אותו קל יותר לחשב בעזרת נוסחת ניוטון לייבניץ או בעזרת שיטות נומריות שונות. בעזרת הפרמטריזציה הנתונה של הישר, ניתן להציג את הפונקציה בצורה \rho (x_1(t), \cdots, x_n(t)). אורך הקטע המקרב את הקשת \ \Delta \ell_i מחושב ידי הכללה של משפט פיתגורס בצורה

\ \Delta \ell_i = \sqrt{(\Delta x_1(t))^2 + \cdots + (\Delta x_n(t))^2}

כאשר \ \Delta x_i הוא שינוי קטן של אחד ממשתני הפרמטריזציה המגדירים את הקשת. לאחר כפל וחילוק של כל שינוי כזה ב- \ \Delta t ולאחר ארגון מחדש מתקבל

\Delta \ell_i = \sqrt{\left(\frac{\Delta x_1(t)}{\Delta t}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{\Delta x_n(t)}{\Delta t}\right)^2}|\Delta t|.

בהפעלת הגבול בו ערכה של החלוקה הגדולה ביותר שואף לאפס, השברים שואפים לנגזרות של המשתנים המגדירים את העקומה לפי הפרמטר \ t. כמו כן, הערך \ |\Delta t| מוחלף בדיפרנציאל, המבטא שינוי קטן בערכו של \ t. כך, מתקבל

\Delta \ell_i \approx \sqrt{\left(\frac{dx_1(t)}{dt}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{dx_n(t)}{dt}\right)^2}dt.

הערך של \Delta \ell_i שהתקבל הוא אמנם קירוב, אך ניתן להוכיח כי הגבול המתקבל עבור הערך המקורב והמקורי זהים, ולכן לצורך חישובים מעשיים ניתן להחליף את הערך המקורי בערך המקורב. באופן זה, אם בקצוות תחום האינטגרציה מקבל הפרמטר t את הערכים \ t_a ו- \ t_b, ניתן לחשב את האינטגרל הקווי על ידי הנוסחה הבאה:

\int_{C} \rho (\vec{x}) dl = \int_{t_a}^{t_b}\rho (x_1(t), \cdots, x_n(t))\sqrt{\left(\frac{dx_1(t)}{dt}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{dx_n(t)}{dt}\right)^2}dt.

אינטגרל קווי מסוג שני[עריכת קוד מקור | עריכה]

אינטגרל קווי מסוג שני מתבצע על שדה וקטורי. סימון: \vec F(\vec x) \in \mathbb{R}^n – זוהי פונקציה במרחב בעל n ממדים עליה מבוצעת האינטגרציה. ניתן לחשוב על פונקציה זו כעל אוסף של n פונקציות סקלריות. תחת ההנחה כי פונקציה זו רציפה, כאמור לעיל, נניח כי המסילה \ C הנה מסילה חלקה למקוטעין המוגדרת בקטע  \ [a,b]. כיוון הסכימה חיובי מוגדר מ- \ a עד \ b.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור לעיל, חוזרים על הליך חלוקת העקום למיתרים, כך שכל נקודה מייצגת מסומנת \ \vec {\xi_i}. עבור כל היטל של השדה הווקטורי על הצירים, כופלים את ערכה של הפונקציה הווקטורית בנקודה המייצגת באורך ההיטל. עבור ההיטל של הרכיב ה- \ k (\ k= 1 \cdots n) של הפונקציה הווקטורית ועבור הציר ה- \ k, מתקבל \ F_k (\vec {\xi_i}) \Delta x_{k,i}. סכימת כל החלקים, \ \sum_{i} F_k (\vec {\xi_i}) \Delta x_{k,i}, נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של היטלי הרכיב ה- \ k של הפונקציה \ \vec F(\vec x) באותו הקטע. באופן דומה, לאחר הטלת כל רכיבי הפונקציה על כל הצירים וסכימת הערכים המתקבלים, מתקבל \sum_{k=1}^n \sum_{i} F_k (\vec {\xi_i}) \Delta x_{k,i}. בהשאפת אורך החלק המוטל הגדול ביותר לאפס, מתקבל \lim_{\max \Delta x_i \rightarrow 0} \sum_{k=1}^n \sum_{i} F_k (\vec {\xi_i}) \Delta x_{k,i}. לפי הגדרת המכפלה הסקלרית, סכום זה לזהה לביטוי \lim_{\max \Delta x_i \rightarrow 0} \sum_{i} \vec F(\vec x)_{i} \cdot \Delta x_{i}. זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור \int_{C}\vec F(\vec x) \cdot d\vec{l}, כאשר d{l}=(\Delta x_1, \cdots, \Delta x_n) הוא אלמנט אורך וקטורי. סכום זה נקרא "אינטגרל קווי מסוג שני".

הערה: על הסכום \sum_{k=1}^n \sum_{i} F_k (\vec {\xi_i}) \Delta x_{k,i}, לאחר הפעלת הגבול, ניתן להסתכל גם כעל תבנית דיפרנציאלית כללית מדרגה ראשונה ולא כעל אוסף רכיבים של וקטור.

הגם שהפונקציה עליה מתבצעת האינטגרציה הנה וקטורית, התוצאה היא סקלרית, שכן החישוב מתבצע על ידי סכימת המכפלות לעיל בכל אחד מהיטליה של הפונקציה הווקטורית, שהוא סקלר. כאמור, ניתן להציג הסכומים האינטגרליים על ידי מכפלה סקלרית, אשר תוצאתה סקלר.

נוסחה לחישוב[עריכת קוד מקור | עריכה]

על מנת לחשב סכום זה, ננקטת גישה דומה לזו אשר יושמה בעת חישוב האינטגרל הקווי מהסוג הראשון. על ידי שימוש בפרמטריזציה הנתונה של הישר, מבוטא כל רכיב של אלמנט האורך בצורה \frac{{\Delta x_i}}{{\Delta t}}{{\Delta t}}. השדה הווקטורי מיוצג באופן \vec F(\vec x(t)). הסכום ייכתב עתה  \sum_{i} \vec F(\vec x)_{i} \cdot \frac{{\Delta x_i}}{{\Delta t}}{{\Delta t}}. בהפעלת הגבול בו ערכה של החלוקה הגדולה ביותר שואף לאפס, השברים שואפים לנגזרות של המשתנים המגדירים את העקומה לפי הפרמטר \ t. כמו כן, את \ \Delta t ניתן להחליף בדיפרנציאל. כך, מתקבל אלמנט האורך הווקטורי

d\vec{l} = \left( \left(\frac{{dx_1(t)}}{{dt}}\right), \cdots , \left(\frac{dx_n(t)}{dt}\right) \right) dt

והנוסחה לחישוב מקבלת את הצורה

\int_{C}\vec F(\vec x) \cdot d\vec{l}=\int_{t_a}^{t_b}\vec F(\vec x(t)) \cdot \left( \left(\frac{{dx_1(t)}}{{dt}}\right), \cdots , \left(\frac{dx_n(t)}{dt}\right) \right) dt.

הקפה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההקפה (בלעז, סירקולציה) של שדה וקטורי \vec{F}, המסומנת לרוב באות \ \Gamma, מוגדרת בתור

\Gamma=\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{l},

קרי: אינטגרל קווי של השדה על פני מסלול סגור. להקפה שימושים רבים בפיזיקה, ובפרט היא מופיעה בניסוח האינטגרלי של משוואות מקסוול. ראו הרחבה בנושא בהמשך, בפרק הדן בשימושים הפיזיקליים של האינטגרל הקווי.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אינטגרל קווי מסוג ראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

יש לחשב את האינטגרל \ \int_{C} z^2 \,dl כאשר המסלול \ C מתואר על ידי C: \left\{\begin{matrix} x=\cos\left(t\right) \\ y=\sin\left(t\right) \\z=e^t \end{matrix}\right. ,t \in [0,\frac{{\pi}}{{2}}]. לפי הנוסחה לחישוב מפורש, ניתן לחשב אינטגרל זה על ידי חישוב האינטגרל המסוים \ \int_0^{{\frac{{\pi}}{{2}}}} \left(e^t\right)^2 \sqrt{\left(\frac{d \cos\left(t\right)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{d \sin\left(t\right)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{d e^t}{dt}\right)^2}dt=\int_0^{{\frac{{\pi}}{{2}}}} e^{2t} \sqrt{e^{2t}+1}\,dt. התקבל אינטגרל מסוים אשר ניתן לחשב על ידי החלפת \ e^{2t} במשתנה אחר. התוצאה המתקבלת היא \ 38.5942.

אינטגרל קווי מסוג שני[עריכת קוד מקור | עריכה]

יש לחשב את האינטגרל \ \int_{C} \left(x^3+y^3\right)\,dx+y \, dy כאשר \ C הוא העקום \ y=\frac{{1}}{{x}} עבור \ x \in [1,5]. ניתן לכתוב הצגה זו גם בצורה C: \left\{\begin{matrix} x=x \\ y=\frac{{1}}{{x}}\end{matrix}\right. ,x \in [1,5]. בצורה זו, הפרמטר אשר על פיו מבוצעת האינטגרציה הוא \ x (באותה המידה, ניתן היה גם לכתוב \ t במקומו, או כל אות אחרת – לשמו של משתנה האינטגרציה אין כל משמעות מתמטית). על פי הנוסחה לחישוב ישיר, מתקבל האינטגרל המסוים \ \int_1^5 \left[\left(x^3+\left(\frac{{1}}{{x}}\right)^3\right)\frac{{dx}}{{dx}}+\left(\frac{{1}}{{x}}\right)\left(\frac{{d\left(\frac{{1}}{{x}}\right)}}{{dx}}\right)\right]dx=\int_1^5 \left[x^3+\frac{{1}}{{x^3}}-\frac{{1}}{{x^3}}\right]dx. זהו אינטגרל מיידי שלאחר חישובו מתקבל \ 156.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

האינטגרל הקווי מקיים תכונות של אדיטיביות ולינאריות כמו האינטגרל המסוים, זאת ניתן לראות מהגדרתו של כסכום. להרחבה ראו ערך אינטגרל.

בהינתן פונקציה חיובית, האינטגרל הקווי מהסוג הראשון איננו תלוי בכיוון ביצוע הסכימה כך שסכימה "מההתחלה אל הסוף" ו"מהסוף אל ההתחלה" תניב תוצאות זהות. ניתן לתת לדבר אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה שאורך או מסה של עקום אינם תלויים בכיוון מהם אנו "מרכיבים" אותם. בנוסחת החישוב המפורשת, הדבר מתבטא בכך שהסכום המופיע בה הוא של שלושה גורמים חיוביים: פונקציה חיובית, שורש ריבועי (אשר הנו חיובי לעולם כאשר השדה מעליו עובדים הוא שדה המספרים הממשיים) והערך המוחלט של \ \Delta t.

לעומת כך, בהינתן אינטגרל קווי מסוג שני, החלפת סדר הסכימה תגרור החלפת סימן של האינטגרל. לכך ניתן לתת אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה כי עבודה של כוח, למשל, הנה שלילית אם הוא נע בכיוון הפוך לכיוון לכיוון המוגדר כ"חיובי". בנוסחה הדבר מתבטא בהחלפת הסימן של \ \Delta t.

באופן כללי, ערכו של אינטגרל קווי הנו תלוי מסלול, כך שעבור מסלולים שונים יתקבלו ערכי אינטגרל שונים. אינטואיציה פיזיקלית לכך ניתנת, עבור אינטגרל מסוג ראשון, למשל, בדמות העובדה כי עבור צפיפות נתונה, גוף ארוך ישקול יותר מגוף קצר. עבור אינטגרל קווי מסוג שני ניתן לתת אינטואיציה על סמך העובדה, למשל, שעבודתו של כוח החיכוך הנה גדולה יותר בערכה המוחלט ככל שהמסלול הנו ארוך יותר. ייתכן מקרה מיוחד בו ערכו של אינטגרל מסוג שני לא יהיה תלוי בצורת מסלול האינטגרציה אלא בקצוות הקטע בלבד. נושא זה נדון בהרחבה בפרק קשר בין אינטגרל קווי לשדה משמר בהמשך ערך זה.

החלפת פרמטריזציה באינטגרל קווי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן פרמטריזציה מסוימת המתארת את העקום שעל פניו מתבצעת האינטגרציה, ניתן לכתוב את האינטגרל הקווי גם על ידי פרמטריזציה אחרת המתארת גם היא את העקום הנתון, בלא שינוי בתוצאה המתקבלת. באופן מעשי, כאמור, חישוב האינטגרל הקווי מתבצע על ידי החלפתו באינטגרל מסוים. בהינתן שתי פרמטריזציות המתארות את אותו העקום, ניתן להחליף את הפרמטריזציות שעל פי הן נעשה החישוב על ידי הכללים המקובלים להחלפת משתנה בשלב חישוב האינטגרל המסוים. ראו שיטת ההצבה להרחבה.

כיוון שאינטגרל מסילתי מסוג שני הנו תלוי כיוון, ישנה חשיבות לכיוון שבו תתבצע האינטגרציה בעזרת הפרמטריזציה החדשה. פרמטריזציה אשר שומרת על כיוון האינטגרציה המקורי נקראת "פרמטריזציה שומרת כיוון". פרמטריזציה הנה שומרת כיוון אם ורק אם מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית עולה. אם הפונקציה הנה מונוטונית יורדת, אזי לאחר ביצוע האינטגרציה תתקבל תוצאה הפוכת סימן. במקרים אחרים, מקובל לחלק את העקומה שעל פיה מתבצעת האינטגרציה למספר חלקים שבכל אחד מהם הפרמטריזציה מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית.

משפטים חשובים הקשורים לאינטגרל קווי[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפטי סטוקס[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפטי סטוקס הם קבוצת משפטים המהווה הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור יריעות חלקות. משפטים אלו מאפשרים החלפה של אינטגרלים על תחום באינטגרלים ממימד נמוך יותר על שפתם.

אחד ממשפטי סטוקס הוא משפט גרין המאפשר החלפת חישוב של אינטגרל כפול באינטגרל קווי על ידי נוסחה הנקראת "נוסחת גרין". הנוסחה היא

\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA.

נוסחה זו מתקיימת עבור תחום פשוט קשר \ D המוקף על ידי מסילה \ C חלקה למוקטעין, סגורה, אשר לא חותכת את עצמה ובהינתן אוריינטציה חיובית המוגדרת כנגד כיוון השעון. להרחבה ראו משפט גרין.

בעזרת נוסחה זו ניתן להמיר אינטגרלים קוויים במשטחיים ולהיפך ובכך לפשט בעיות שונות.

נוסחת גרין הנה מקרה פרטי של משפט סטוקס במרחב, על פיו במרחב הווקטורי \mathbb{R}^3, מתקיים:

\oint_{\partial A} \vec F \cdot \vec {dl}=\iint_A (\vec \nabla \times \vec F)\cdot d\hat n ,

כאשר A היא יריעה אוריינטבילית דו-ממדית, האגף השמאלי הוא אינטגרל קווי של השדה על שפת A, והאגף הימני הוא אינטגרל קווי על השטף של רוטור השדה דרך A. להרחבה ראו משפט סטוקס.

קשר בין אינטגרל קווי לשדה משמר[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעזרת משפט גרין ניתן להוכיח את המשפט הבא, אשר נקרא לעתים "המשפט היסודי של האינטגרל הקווי" ומהווה הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי:

משפט: שתי הטענות הבאות שקולות זו לזו – קרי, אם האחת מתקיימת, אזי מתקיימת גם השנייה, ולהיפך:
  1. ערכו של אינטגרל קווי מסוג שני של שדה וקטורי \vec F בין שתי נקודות, איננו תלוי בצורת המסלול המחבר אותן.
  2. השדה הווקטורי \vec F הנו שדה פוטנציאלי – או, בשם אחר, "שדה משמר" – כלומר, קיימת פונקציה \ U, הנקראת "פוטנציאל סקלרי", כך שהשדה הווקטורי הוא גרדיאנט שלה. ערכו של האינטגרל שווה להפרש ערכי הפונטציאל בקצוות הקטע עליו מתבצעת האינטגרציה.

משילובן של שתי טענות אלו, עולה מסקנה חשובה: עבור שדה פוטנציאלי, האינטגרל על כל מסילה סגורה מתאפס, שכן הוא שווה להפרש הפוטנציאלים בין קצוות הקטע. כיוון שקצוות הקטע מתלכדים, ההפרש הנו זהותית אפס. למסקנה זו שימושים רבים בעת דיון על כוחות משמרים.

הערה: בעת דיון באינטגרל קווי מסוג שני בהקשר של תבניות דיפרנציאליות, מוחלפת שאלת קיומו של שדה משמר בשאלה "האם התבנית הדיפרנציאלית הנה תבנית מדויקת?" (קרי – קיימת פוקציה אחרת שתבנית זו הנה הדיפרנציאל השלם שלה). אם כן, אזי הפונקציה אשר התבנית הדיפרנציאלית שלה הנה זו עליה מתבצעת אינטגרציה, מחליפה בהקשר זה את הפוטנציאל.

אנליזה מרוכבת[עריכת קוד מקור | עריכה]

האינטגרל הקווי הוא כלי בסיסי באנליזה מרוכבת. בהינתן עקומה סופית \ U\subset \mathbb{C} במישור המורכב ובהינתן \ \gamma : [a,b]\rightarrow U היא ו- \ f:U\rightarrow \mathbb{C} פונקציה מרוכבת, אם \ \gamma גזירה ברציפות, ניתן לחשב את האינטגרל הקווי כאינטגרל של פונקציה של משתנה ממשי:

\ \int_{\gamma}f(z)\, dz = \int_a^bf(\gamma (t))\gamma '(t)\, dt.

משפטים חשובים על אינטגרלים קוויים הם משפט אינטגרל קושי ונוסחת אינטגרל קושי, הקובעת כי מתקיים

f(z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(z) \over z-z_0}\, dz

עבור \ f:U\rarr\mathbb{C} פונקציה הולומורפית בעיגול \ D המוכל בקבוצה הפתוחה \ U במישור המרוכב, כאשר מגמת האינטגרל היא נגד כיוון השעון.

כתוצאה של משפט השאריות, מאפשר לעתים קרובות להשתמש באינטגרל על עקומה סגורה במישור המרוכב כדי למצוא אינטגרלים של פונקציות ממשיות של משתנה ממשי. לדוגמה ניתן לקבל בשיטה זו את התוצאה:

\int ^{2 \pi} _{0} \frac{1}{1+ \sin x} dx = \frac {\pi} {2 \sqrt{2}}.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מאפיינים פיזיים של גופים המיוצגים על ידי עקומה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מהתבוננות בהגדרת האינטגרל הקווי מסוג ראשון, ניתן לראות כי בבחירת פונקציה השווה זהותית לאחד, מתקבל הסכום \lim_{\max \Delta \ell_i \rightarrow 0} \sum_{i} \Delta \ell_i. משמעותו של סכום זה היא אורך העקומה עליה מתבצעת האינטגרציה. כך, בהינתן עקום ניתן לחשב את אורכו בעזרת אינטגרל קווי. בהינתן הגדרה אקסיומטית של מושג האורך של קו ישר, ניתן להשתמש בסכום זה על מנת להגדיר את המושג "אורך של עקום".

בהינתן פונקציה המבטאת צפיפות של גודל פיזיקלי כלשהו כפי שהיא משתנה לאורך העקום, כאשר העקום הנו מודל לגוף כלשהו (למשל, חוט) ניתן לחשב את כמות הגודל הכוללת לאורך אותו גוף על ידי אינטגרל קווי מסוג ראשון. כך, למשל, בהינתן צפיפות מסה קוית, ניתן לחשב את מסתו של גוף ובהינתן צפיפות מטען קווית, ניתן לחשב את המטען המפוזר לאורכו של גוף.

שימושים פיזיקליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבודה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחת הדוגמאות הבולטות לשימוש באינטגרל קווי מסוג שני הנה חישוב עבודה. עבודתו של כוח קבוע המניע מסה לאורך קו ישר מוגדרת כמכפלת היטלו של הכוח לאורך ציר התנועה במרחק שגרם למסה לנוע. בכתיב מתמטי, מיוצגת העבודה לפי הנוסחה W = \vec{F}\cdot \vec{r}\, כאשר \ \vec{F} הוא הכוח המניע ו-\ \vec{r} הוא וקטור ההעתק. במקרה הכללי ביותר, כאשר הכוח הנו כוח משתנה והמסלול איננו בהכרח קו ישר, ניתן לקרב את המסלול על ידי חלוקתו לחלקים קטנים בהם המסלול הוא בקירוב ישר והכוח הוא בקירוב קבוע, לחשב את העבודה בכל אחד מהם ולסכום את סך כל העבודות המתבצעות בקטעים לעיל. בכך, מתקבלת העבודה הכוללת. הלכה למעשה, חישוב זה זהה במהותו לחישובו של אינטגרל קווי מסוג שני ולכן, בהינתן מסילה \ \gamma, מוגדרת העבודה לאורכה על ידי הנוסחה \ W = \int_{\gamma}{ \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{r}}.

כיוון שאינטגרל של שדה משמר לאורך מסילה סגורה הוא אפסי, עולה מכך שתנועתו של גוף הנע במסלול סגור תחת השפעת כוח משמר, איננה משנה את הפוטנציאל שלו, כאשר המשמעות הפיזיקלית של פוטנציאל זה היא אנרגיה. קרי – אנרגיה של גוף לא משתנה כאשר הוא נע במסלול סגור תחת השפעת כוח משמר. למשפט זה חשיבות פיזיקלית רבה.

שימושים נוספים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אינטגרלים קוויים מופיעים, בין היתר, במקומות בהם מערכות פיזיקליות נידונות מתוארות על ידי פונקציות שדה. אינטגרלים מסוג זה משמשים בתורה האלקטרומגנטית ומופיעים בניסוחים האינטגרליים של משוואות מקסוול, שם הם מתארים את הקפת השדה המגנטי והחשמלי. חוק ביו-סבר, המהווה גרסה של חוק אמפר, מאפשר חישוב של שדות מגנטיים על ידי שימוש באינטגרל קווי. מכניקת הזורמים, אשר בחלק מענפיה מתקימת סימטריה מסוימת בין הניסוחים המתמטיים המתארים אותה לבין אלו של התורה האלקטרומגנטית, היא ענף פיזיקלי נוסף בו נעשה שימוש באינטגרלים קוויים. כדוגמה, לחוק ביו-סבר שהוזכר לעיל, שימושים גם באווירודינמיקה, שם הוא משמש לחישובים של מהירות המושרית מקווי מערבולת. כדוגמה נוספת, משפט קוטה-ז'וקובסקי קושר בין הקפת שדה המהירות של נוזל לבין כוח העילוי שהוא מפעיל.

פישוט חישובים[עריכת קוד מקור | עריכה]

על ידי שימוש במשפטי סטוקס, ובפרט במשפט גרין ובמשפט סטוקס במרחב, ניתן להחליף את חישוביהם של אינטגרלים משטחיים באינטגרלים קוויים על שפתם ולהיפך. כך, ניתן לפשט מספר חישובים.

כך, למשל, על סמך משפט גרין, עבור זוג פונקציות \ M ו- \ L המקיימות \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}=0, האינטגרל הקווי \oint_{C} (L\, dx + M\, dy) נותן את השטח שכולאת העקומה \ C. לעתים, חישוב זה נוח יותר מחישוב השטח באמצעות כלים אחרים (למשל, אינטגרל כפול).

כאמור, לאינטגרלים קוויים שימושים רבים גם באנליזה מרוכבת.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • George Cain & James Herod, Multivariable Calculus
  • Kenneth Kuttler, Calculus, Applications and Theory
  • Kittel, Mechanics, Berkeley Physics Course
  • Tom M. Postol, Calculus, Volume II

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

עיינו גם בפורטל

P mathematics.svg

פורטל המתמטיקה הוא שער לכל הנושאים הקשורים במתמטיקה. ניתן למצוא בו קישורים אל תחומי המשנה של ענף המתמטיקה, מושגי יסוד בתחום, היסטוריה של המתמטיקה, מתמטיקאים חשובים ועוד.