אינפימום וסופרמום

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, אִינְפִימוּם הוא החסם מלרע (מלמטה) הגדול ביותר של קבוצה נתונה וסוּפְּרִמוּם הוא החסם מלעיל (מלמעלה) הקטן ביותר של הקבוצה.^[1]

לאינפימום וסופרמום משמעות רבה במגוון תחומים במתמטיקה, בהם באנליזה מתמטית, תורת הקבוצות, תורת המספרים, לוגיקה מתמטית ועוד.

סימונים

בערך זה נסמן ב- $\mathbb {N}$ ,‏ $\mathbb {Z}$ ,‏ $\mathbb {Q}$ ו- $\mathbb {R}$ את קבוצת המספרים הטבעיים, המספרים השלמים, המספרים הרציונליים והמספרים הממשיים בהתאמה.

מבוא ומוטיבציה

בהינתן קבוצה כלשהי של מספרים ממשיים $B\subseteq \mathbb {R}$ , שאלה חשובה שאפשר לשאול היא מהו האיבר הגדול ביותר או האיבר הקטן ביותר ב- $B$ . עם זאת, לקבוצות רבות אין איבר גדול ביותר או קטן ביותר, אפילו אם הן חסומות. כך למשל בקטע הפתוח $(0,1)$ , לכל $0<x<1$ קיימים $y$ ו- $z$ כך ש- $0<y<x<z<1$ . לכן בהכרח אין בקטע זה איבר גדול ביותר או קטן ביותר, זאת למרות שהקטע $(0,1)$ חסום מלמעלה על-ידי כל המספרים החיוביים שגדולים או שווים ל-1 וחסום מלמטה על-ידי כל המספרים השליליים.

בהיעדר מינימום ומקסימום בקבוצה עצמה, השאלה הבאה שאפשר לשאול עבור קבוצות חסומות היא האם יש להן חסם מלמעלה או מלמטה אופטימליים. כך למשל, עבור חסמים מלמעלה של קבוצה, אפשר לשאול האם יש חסם מלמעלה ש"צמוד מספיק" לקבוצה כך שכל חסם מלמעלה אחר של הקבוצה גדול ממנו. באופן דומה, עבור חסמים מלמטה של קבוצה, אפשר לשאול האם יש חסם מלמטה ש"צמוד מספיק" לקבוצה כך שכל חסם מלמטה אחר של הקבוצה קטן ממנו.

חסמים אופטימליים שכאלה נקראים סופרמום (עבור חסם מלמעלה) ואינפימום (עבור חסם מלמטה), וניתן להגדיר אותם לכל קבוצה סדורה שהיא.

הגדרות בסיסיות

בהינתן קבוצה $P$ עם יחס $\leq$ , הזוג $(P,\leq )$ יקרא קבוצה סדורה אם ורק אם $\leq$ מקיים את התכונות הבאות:

טרנזיטיביות: לכל $a,b,c\in P$ כך ש- $a\leq b$ וגם $b\leq c$ , מתקיים ש- $a\leq c$ .
אנטי-סימטריות: לכל $a,b\in P$ , אם $a\leq b$ וגם $b\leq a$ , אז $a=b$ .
רפלקסיביות: לכל $a\in P$ מתקיים ש- $a\leq a$ .

כעת, יהי $A\subseteq P$ , אזי:

איבר $u\in P$ יקרא חסם מלמעלה של $A$ אם ורק אם לכל $a\in A$ מתקיים ש- $a\leq u$ .
איבר $l\in P$ יקרא חסם מלמטה של $A$ אם ורק אם לכל $a\in A$ מתקיים ש- $l\leq a$ .

יש לשים לב שחסם מלמעלה וחסם מלמטה של $A$ לא חייבים בהכרח להיות איברים של $A$ .

הגדרה פורמלית

יהי קבוצה סדורה $(P,\leq )$ ותת-קבוצה $A\subseteq P$ . אזי, $s\in P$ ייקרא הסופרמום של $A$ (בעברית: חֶסֶם עֶלְיוֹן^[2]) אם ורק אם הוא החסם מלמעלה הקטן ביותר של $A$ . כלומר:

לכל $a\in A$ מתקיים ש- $a\leq s$ .
לכל $u\in A$ שמקיים $a\leq u$ לכל $a\in A$ , מתקיים ש- $s\leq u$ .

באופן דומה, $i\in P$ ייקרא האינפימום של $A$ (בעברית: חֶסֶם תַּחְתּוֹן^[3]) אם ורק אם הוא החסם מלמטה הגדול ביותר של $A$ . כלומר:

לכל $a\in A$ מתקיים ש- $i\leq a$ .
לכל $l\in A$ שמקיים $l\leq a$ לכל $a\in A$ , מתקיים ש- $l\leq i$ .

אם הסופרמום של $A$ קיים, מסמנים אותו ב- $\sup(A)$ . באופן דומה, אם האינפימום של $A$ קיים, מסמנים אותו ב- $\inf(A)$ .

תכונות

יהי קבוצה סדורה $(P,\leq )$ . אזי:

אם לתת-קבוצה של $P$ יש סופרמום, הוא יחיד (כלומר, לא ייתכן שלקבוצה יהיו שני סופרמומים). באופן דומה, אם לתת-קבוצה של $P$ יש אינפימום, הוא יחיד.
אם לתת-קבוצה של $P$ יש איבר גדול ביותר, הוא הסופרמום שלה. באופן דומה, אם לתת-קבוצה של $P$ יש איבר קטן ביותר, הוא האינפימום שלה.
לתת-קבוצה של $P$ יכול להיות סופרמום (אינפימום) רק אם היא חסומה מלמעלה (מלמטה).
אם ל- $A\subseteq P$ יש גם אינפימום וגם סופרמום, אז $\inf(A)\leq \sup(A)$ .
אם $A\subseteq B\subseteq P$ וגם ל- $A$ וגם ל- $B$ יש סופרמום, אז $\sup(A)\leq \sup(B)$ . באופן דומה, אם גם ל- $A$ וגם ל- $B$ יש אינפימום, אז $\inf(B)\leq \inf(A)$ .
אם ל- $P$ עצמה יש סופרמום, הוא האיבר הגדול ביותר שלה. באופן דומה, אם ל- $P$ עצמה יש אינפימום, הוא האיבר הקטן ביותר שלה.

שימושים

אנליזה ממשית

ערך מורחב – אנליזה ממשית

למספרים הממשיים ישנה תכונה ייחודית הנקראת אקסיומת השלמות. על-פי אקסיומה זו, לכל תת-קבוצה של המספרים הממשיים שיש לה חסם מלמעלה, בהכרח יש לה סופרמום. מסקנה ישירה של אקסיומה זו היא שלכל תת-קבוצה של המספרים הממשיים שיש לה חסם מלמטה, בהכרח יש לה אינפימום.^[4]

לתכונה זו של המספרים הממשיים יש מספר רב של מסקנות שבאות לידי ביטוי בתחומים שונים של אנליזה, ביניהן:

כל סדרה מונוטונית וחסומה של מספרים ממשיים, מתכנסת.
הלמה של קנטור: לכל סדרה יורדת של קטעים סגורים שהאורך שלהם שואף ל-0, יש חיתוך לא ריק בעל איבר אחד בלבד.
משפט בולצאנו-ויירשטראס: לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודת הצטברות.

משפטים מסוג זה מבדילים את קבוצת המספרים הממשיים מקבוצות אחרות כגון $\mathbb {N}$ ,‏ $\mathbb {Z}$ ו- $\mathbb {Q}$ . כך למשל, ניתן להסתכל כל הקבוצה $A:=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}$ . תחת $\mathbb {Q}$ , לקבוצה זו אין סופרמום מכיוון שלכל חסם מלמעלה רציונלי של $A$ , קיים חסם מלמעלה רציונלי שקטן ממנו. עם זאת, תחת $\mathbb {R}$ , לקבוצה זו יש סופרמום והוא ${\sqrt {2}}$ .

תורת המספרים

ערך מורחב – תורת המספרים

ניתן להסתכל על קבוצת המספרים הטבעיים $\mathbb {N}$ עם יחס הסדר "מחלק את" שמסומן ב- $|$ . תחת סדר זה, לכל קבוצת מספרים טבעיים קיים אינפימום, גם אם הקבוצה היא אינסופית. לעומת זאת, לקבוצת מספרים טבעיים קיים סופרמום אם ורק אם היא קבוצה סופית. כך למשל, מכיוון שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים, לא קיים מספר כלשהו שמתחלק בכל המספרים הראשוניים.

בהינתן שני מספרים טבעיים $a,b\in \mathbb {N}$ לאינפימום של הקבוצה $\{a,b\}$ תחת יחס החילוק קוראים המחלק המשותף המקסימלי של $a$ ו- $b$ ומסמנים אותו ב- $\gcd(a,b)$ .^[5] כך למשל, המספרים 45 ו-60 מתחלקים ב-1, 3, 5 ו-15. לכן המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא 15.

קיים אלגוריתם יעיל במיוחד למציאת המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרים טבעיים. אלגוריתם זה נקרא אלגוריתם אוקלידס, שמקורו בספר "יסודות" של אוקלידס שפורסם בסביבות שנת 300 לפנה"ס.

סריג

ערך מורחב – סריג (מבנה סדור)

עבור קבוצה סדורה כללית, לא מובטח שלכל קבוצה יש סופרמום ואינפימום, אפילו אם מדובר בקבוצה סופית. קבוצה סדורה שבה לכל תת-קבוצה סופית קיים אינפימום קרויה סריג-למחצה תחתון. קבוצה סדורה שבה לכל תת-קבוצה סופית קיים סופרמום קרויה סריג-למחצה עליון. קבוצה שהיא סריג-למחצה עליון ותחתון קרויה סריג.^[6]

לסריגים חשיבות רבה במתמטיקה והם באים לידי במגוון תחומים, בהם לוגיקה מתמטית, תורת הקבוצות, תורת הקטגוריות ועוד. ייחודם של סריגים היא ביכולת לתאר אותם בשתי דרכים דואליות: האחת באמצעות יחס הסדר, והשיניה באופן אלגברי באמצעות שתי פעולות הנקראות מצרף ומפגש.

סריג כלשהו יקרא סריג שלם אם לכל קבוצה שהיא (לאו דווקא סופית) קיים סופרמום ואינפימום. לסריגים שלמים יש מספר תוצאות חשובות מאוד שמפרידות אותם מקבוצות סדורות אחרות, בהן:

השלמת דדקינד-מקניל (Dedekind–MacNeille completion) - המשפט קובע שכל קבוצה סדורה ניתן לשכן בתוך סריג שלם. השלמת דדקינד-מקניל היא הרחבה של שיטת חתכי דדקינד שבאמצעותם אפשר לבנות את המספרים הממשיים מהמספרים הרציונליים.^[7]
משפט קנסטר-טרסקי (Knaster–Tarski theorem) - המשפט קובע שעבור כל פונקציה מונוטונית מסריג שלם לעצמו, נקודות השבת של פונקציה זו יוצרות סריג שלם בעצמן.

במובן זה, הישר הממשי המורחב הוא סריג שלם, בעוד הישר הממשי עצמו איננו. כמו כן, קבוצת המספרים הטבעיים עם היחס "מחלק את" היא סריג, אך היא שלמה מלמטה בלבד.

דוגמאות

בשדה המספרים הממשיים עם יחס הסדר $\leq$ , לכל קטע סופי, פתוח או סגור או פתוח וסגור למחצה, מתקיים $\inf[a,b]=\inf(a,b)=a$ ו- $\sup[a,b]=\sup(a,b)=b$ . עבור הקרן החצי אינסופית $[0,\infty ):=\{x\geq 0\ |\ x\in \mathbb {R} \}$ מתקיים $\inf[0,\infty )=0$ אך מאחר שהיא לא חסומה מלמעלה, אין לה סופרמום במובן הצר ואז נהוג לסמן $\sup[0,\infty )=\infty$ על אף שאינסוף הוא לא מספר ממשי.
בהינתן קבוצת המספרים הטבעיים $\mathbb {N}$ , קבוצת החזקה שלה ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ סדורה ביחס סדר חלקי לפי יחס ההכלה $\subseteq$ . לפי יחס זה, לכל קבוצת קבוצות ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ יש סופרמום ואינפימום לפי $\subseteq$ , כאשר הסופרמום הוא האיחוד $\bigcup {\mathcal {A}}$ והאינפימום הוא החיתוך $\bigcap {\mathcal {A}}$ .
הקבוצה ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\setminus \{\emptyset \}$ , שהיא קבוצת החזקה של $\mathbb {N}$ ללא הקבוצה הריקה, תחת היחס $\subseteq$ , היא גם קבוצה סדורה. באופן דומה לדוגמה הקודמת, לכל אוסף קבוצות קיים סופרמום בצורת האיחוד שלהן. עם זאת, ייתכנו קבוצת קבוצות ללא אינפימום. כך למשל, לכל שני יחידונים שונים $\{n\}$ ו- $\{m\}$ אין אינפימום מכיוון שהם איברים מינימליים (הקבוצה היחידה שמוכלת בהם היא הקבוצה הריקה, שהוסרה מקבוצת החזקה).
נתון מרחב וקטורי $V$ ומסמנים ב- ${\mathcal {V}}$ את קבוצת כל תתי-המרחבים שלו. מסדרים את תתי המרחבים לפי יחס ההכלה $\subseteq$ . לכל זוג תתי-מרחבים $U_{1},U_{2}\in {\mathcal {V}}$ , קיים אינפימום שהוא החיתוך שלהם $U_{1}\cap U_{2}$ , וקיים להם סופרמום שהוא הסכום שלהם $U_{1}+U_{2}$ . לכן ${\mathcal {V}}$ הוא סריג.
עבור קבוצה כלשהי $X$ מגדירים את הקבוצה $\operatorname {Eq} (X)$ להיות אוסף כל יחסי השקילות האפשריים על $X$ . בהינתן שני יחסי שקילות $\sim _{1},\sim _{2}\in \operatorname {Eq} (X)$ מסמנים ש- $\sim _{1}\leq \sim _{2}$ אם ורק אם כל $x\in X$ מתקיים ש- $[x]_{\sim _{1}}\subseteq [x]_{\sim _{2}}$ (כלומר, מחלקות השקילות של $\sim _{1}$ מוכלות במחלקות השקילות של $\sim _{2}$ ). אזי $(\operatorname {Eq} (X),\leq )$ היא קבוצה סדורה. ניתן להוכיח כי היא סריג שלם.