אי-שוויון בסל

במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, אי-שוויון בסל הוא אי-שוויון המאפשר, בהינתן מרחב מכפלה פנימית, להשוות בין הנורמה של וקטור מסוים במרחב לערכי המכפלה הפנימית של אותו וקטור בקבוצת וקטורים אורתונורמלית (כלומר, קבוצת וקטורי יחידה אורתוגונלים בזוגות).

אחת המסקנות החשובות מאי-שוויון זה היא שבהינתן מרחב מכפלה פנימית וקבוצה אורתונורמלית, כל וקטור במרחב תלוי לכל היותר בקבוצה בת-מנייה של וקטורים מתוך הקבוצה האורתונורמלית.

אי-השוויון נקרא על שם פרידריך בסל, שהוכיח אותו בשנת 1828.^[1]

ניסוח אי-השוויון

יהי מרחב וקטורי $V$ מעל שדה המרוכבים $\mathbb {C}$ מממד אינסופי עם מכפלה פנימית $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ ונורמה $\left\|\cdot \right\|$ המושרית ממנה. כמו כן, תהי $e_{1},e_{2},\dots \in V$ קבוצה אורתונורמלית, כלומר:

$\left\|e_{i}\right\|=1$ לכל $i\in \mathbb {N}$ ( $\mathbb {N}$ היא קבוצת המספרים הטבעיים)
$\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle =0$ לכל $i,j\in \mathbb {N}$ כך ש- $i\neq j$

אזי, לכל $x\in V$ מתקיים אי-השוויון הבא:

$\sum _{i=1}^{\infty }{\left|\left\langle x,e_{i}\right\rangle \right|^{2}}\leq \left\|x\right\|^{2}$

אי-שוויון זה הוא אי-שוויון בסל.

הוכחת אי-השוויון

לכל $i\in \mathbb {N}$ מגדירים $c_{i}=\left\langle x,e_{i}\right\rangle$ . יש להוכיח כי:

$\sum _{i=1}^{\infty }{\left|c_{i}\right|^{2}}\leq \left\|x\right\|^{2}$

בוחרים $n\in \mathbb {N}$ כלשהו. ניתן לראות כי:^[2]

${\begin{aligned}0\leq \left\|x-\sum _{i=1}^{n}{c_{i}e_{i}}\right\|^{2}=\left\|x\right\|^{2}-2\sum _{i=1}^{n}{\operatorname {Re} (\left\langle x,c_{i}e_{i}\right\rangle )}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{c_{i}{\bar {c_{j}}}\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle }\\=\left\|x\right\|^{2}-2\sum _{i=1}^{n}{\left|c_{i}\right|^{2}}+\sum _{i=1}^{n}{\left|c_{i}\right|^{2}}\\=\left\|x\right\|^{2}-\sum _{i=1}^{n}{\left|c_{i}\right|^{2}}\end{aligned}}$

כאשר אי-השוויון נובע מחיוביות הנורמה המושרית והשוויון הראשון נובע מליניאריות ברכיב הראשון ואנטי-ליניאריות ברכיב השני של המכפלה הפנימית. על-ידי העברת אגפים מתקבל כי $\sum _{i=1}^{n}{\left|c_{i}\right|^{2}}\leq \left\|x\right\|^{2}$ לכל $n\in \mathbb {N}$ . מאחר שכל האיברים $\left|c_{i}\right|^{2}$ חיוביים, וכל תתי-הטורים הסופיים של הטור האינסופי המבוקש חסומים על-ידי $\left\|x\right\|^{2}$ , בהכרח הטור האינסופי כולו מתכנס וחסום אף הוא על-ידי $\left\|x\right\|^{2}$ (הדבר נובע מכך שבקבוצת המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ , כל סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל בהכרח מתכנסת).

מ.ש.ל.

מסקנות

תלות ליניארית בקבוצה אורתונורמלית שאינה בת מנייה

יהי מרחב וקטורי $V$ מממד אינסופי מעל שדה המרוכבים $\mathbb {C}$ עם מכפלה פנימית $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ ונורמה $\left\|\cdot \right\|$ המושרית ממנה. כמו כן, תהי $A\subseteq V$ היא קבוצה אורתונורמלית. אזי, לכל $x\in V$ הקבוצה:

$S:=\left\{e\in A\mid \left\langle x,e\right\rangle \neq 0\right\}$

מקיימת ש- $|S|\leq \aleph _{0}$ . כלומר, $S$ היא לכל היותר קבוצה אינסופית בת-מנייה.^[3]

הוכחה

מניחים בשלילה ש- $S$ אינה בת-מנייה. מגדירים קבוצת קטעים $\left\{I_{n}\right\}_{n=0}^{\infty }$ אינסופית בת-מניה באופן הבא:

$I_{0}=\left[1,\infty \right)$
$I_{n}=\left[{\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right)$ לכל $n\geq 1$

ניתן לראות כי כל הקטעים הללו זרים בזוגות ושאיחודם הוא קבוצת כל המספרים הממשיים האי-שליליים. לכל מספר שלם אי-שלילי $n$ מגדירים $S_{n}:=\left\{e\in S\mid \left|\left\langle x,e\right\rangle \right|\in I_{n}\right\}$ . ניתן לראות כי $S=\bigcup _{n=0}^{\infty }{S_{n}}$ . זוהי חלוקה של $S$ למספר בן-מנייה של תתי-קבוצות זרות בזוגות. לכן בהכרח קיים $N$ כלשהו כך ש- $S_{N}$ היא קבוצה שאינה בת-מנייה, שכן אחרת $S$ הוא איחוד בן-מנייה של קבוצות מעצמה בת-מנייה, ולכן $S$ קבוצה בת מנייה בסתירה להנחה בשלילה.

מאחר ש- $S_{N}$ היא קבוצה שאינה בת-מנייה, קיימת לה תת-קבוצה $S'\subseteq S_{N}$ שהיא אינסופית בת-מנייה. עולה מכך ש- $S'$ היא קבוצה אינסופית בת-מנייה כך שלכל $e\in S'$ מתקיים ש- $\left|\left\langle x,e\right\rangle \right|\geq {\frac {1}{N}}$ . מאחר שהקבוצה $S'$ בת-מנייה ואורתונורמלית, איבריה מקיימים את התנאי באי-שוויון בסל, מה שמבטיח שהסכום $\sum _{e\in S'}{\left|\left\langle x,e\right\rangle \right|^{2}}$ מתכנס. מנגד, הסכום $\sum _{e\in S'}{\left|\left\langle x,e\right\rangle \right|^{2}}$ מתבדר כי הוא סכום אינסופי שכל איבריו גדולים או שווים ל- ${\frac {1}{N^{2}}}$ . זו סתירה.

מ.ש.ל.

הטלה באמצעות קבוצת אורתונורמלית בת מנייה

יהי מרחב הילברט $H$ מממד אינסופי עם מכפלה פנימית $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ ונורמה $\left\|\cdot \right\|$ המושרית ממנה. כמו כן, תהי $e_{1},e_{2},\dots \in H$ קבוצה אורתונורמלית. אזי, לכל $x\in H$ קיים $x'\in H$ יחיד כך ש:

$\left\langle x',e_{i}\right\rangle =\left\langle x,e_{i}\right\rangle$ לכל $i\in \mathbb {N}$ .
$\left\|x'\right\|^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }{\left|\left\langle x,e_{i}\right\rangle \right|^{2}}$

תקציר ההוכחה

לכל $n\in \mathbb {N}$ מגדירים $x_{n}:=\sum _{i=1}^{n}{\left\langle x,e_{i}\right\rangle e_{i}}$ . ניתן להוכיח כי:

$\left\|x_{n}\right\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\left|\left\langle x,e_{i}\right\rangle \right|^{2}}$

$\left\|x_{n}-x_{m}\right\|^{2}=\sum _{i=m+1}^{n}{\left|\left\langle x,e_{i}\right\rangle \right|^{2}}$ (כאשר $m<n$ )

על-פי אי-שוויון בסל, הסכום האינסופי $\sum _{i=1}^{\infty }{\left|\left\langle x,e_{i}\right\rangle \right|^{2}}$ מתכנס, מה שמאפשר להוכיח כי הסדרה $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ היא סדרת קושי. מאחר ש- $H$ הוא מרחב שלם (מתוך היותו מרחב הילברט), בהכרח הסדרה $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת ל- $x'\in H$ כלשהו. זהו ה- $x'$ המבוקש.

מ.ש.ל.

שוויון פרסבל

ערך מורחב – שוויון פרסבל

יהי מרחב הילברט $H$ מממד אינסופי עם מכפלה פנימית $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ ונורמה $\left\|\cdot \right\|$ המושרית ממנה. כמו כן, תהי $B\subseteq H$ מערכת אורתונורמלית שלמה. אזי, לכל $x\in H$ מתקיים השוויון:

$\left\|x\right\|^{2}=\sum _{e\in B}{\left|\left\langle x,e\right\rangle \right|^{2}}$

זהו שוויון פרסבל.^[4]

תקציר ההוכחה

ראשית, ניתן לצמצם את $B$ לתת-קבוצה בת-מנייה $B'$ לפי המסקנה הראשונה לעיל, שכן המכפלה הפנימית בין $x$ לאיברי $B$ אינה מתאפסת לכל היותר לקבוצה בת-מנייה של $B$ . לאחר מכן, מגדירים $x'$ בהתאם למסקנה השנייה המופיעה לעיל. לבסוף, ניתן להוכיח כי $x'=x$ , שכן אחרת ניתן למצוא $e\in B\backslash B'$ כך ש- $\left\langle x,e\right\rangle \neq 0$ , וזו סתירה להגדרת $B'$ .