אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת ההסתברות, אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ הוא אי-שוויון החוסם את המרחק בין התפלגות דגימה לבין ההתפלגות התאורטית שממנה נלקחת הדגימה. אי-השוויון קרוי על-שם המתמטיקאים אריה דבורצקי, ג'ק קיפר וג'קוב וולפוביץ שגילו אותו ב-1956[1]. בגרסה המקורית הופיע באגף ימין של אי-השוויון גורם קבוע C, שערכו לא הוגדר. ב-1990 מצא Pascal Massart [2] את ערכו המדויק של הקבוע, והראה שלא ניתן לשפר את התוצאה מעבר אליו.

אי-השוויון[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור מספר טבעי n, יהיו משתנים מקריים ממשיים, בלתי תלויים ושווי התפלגות, עם פונקציית התפלגות . נסמן ב- את פונקציית המדרגות המתקבלת מן הדגימה: . אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ חוסם את הסיכוי שהפונקציה המקרית תהיה רחוקה מ- ביותר מקבוע במקום כלשהו על הישר הממשי. ליתר דיוק, לכל . תוצאה זו מחזקת את משפט גליבנקו-קנטלי, בכך שהיא קובעת את קצב ההתכנסות של המרחק כאשר n גדל לאינסוף. אי-השוויון מספק גם אומדן להסתברות הזנב של הסטטיסטי של קולמוגורוב-סמירנוב.

לדוגמה, אם דוגמים n=150 ערכים מהתפלגות לא ידועה , ומגדירים כמקודם, אז הסיכוי לכך שתהיה נקודה ממשית שבה קטן מ- . כדי לדגום את הפונקציה בשגיאה קטנה פי , ובאותה הסתברות, יש להגדיל את המדגם פי .

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ , Dvoretzky, Kiefer and Wolfowitz, `Asymptotic minimax character of the sample distribution function and of the classical multinomial estimator', Annals of mathematical Statistics, Vol. 27(3), 1956, 642–-669. ראו גם גרסה אלקטרונית.
  2. ^ Massart, `The tight constant in the Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz inequality', The Annals of Probability, Vol. 18(3), 1990, 1269--1283. ראו גם גרסה אלקטרונית