אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת ההסתברות, אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ הוא אי-שוויון החוסם את המרחק בין התפלגות דגימה לבין ההתפלגות התאורטית שממנה נלקחת הדגימה. אי-השוויון קרוי על-שם המתמטיקאים אריה דבורצקי, ג'ק קיפר (אנ') וג'ייקוב וולפוביץ (אנ') שגילו אותו ב-1956[1]. בגרסה המקורית הופיע באגף ימין של אי-השוויון גורם קבוע C, שערכו לא הוגדר. ב-1990 מצא Pascal Massart [2] את ערכו המדויק של הקבוע, והראה שלא ניתן לשפר את התוצאה מעבר אליו.

אי-השוויון[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור מספר טבעי , יהיו משתנים מקריים ממשיים, בלתי תלויים ושווי התפלגות, עם פונקציית התפלגות . נסמן ב- את פונקציית המדרגות המתקבלת מן הדגימה: . אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ חוסם את הסיכוי שהפונקציה המקרית תהיה רחוקה מ- ביותר מקבוע במקום כלשהו על הישר הממשי. ליתר דיוק, לכל . תוצאה זו מחזקת את משפט גליבנקו-קנטלי, בכך שהיא קובעת את קצב ההתכנסות של המרחק כאשר n גדל לאינסוף. אי-השוויון מספק גם אומדן להסתברות הזנב של הסטטיסטי של קולמוגורוב-סמירנוב.

לדוגמה, אם דוגמים ערכים מהתפלגות לא ידועה , ומגדירים כמקודם, אז הסיכוי לכך שתהיה נקודה ממשית שבה קטן מ-. השגיאה יורדת בקצב אקספוננציאלי בגודל המדגם.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Dvoretzky, A.; Kiefer, J.; Wolfowitz, J. (1956). "Asymptotic minimax character of the sample distribution function and of the classical multinomial estimator". Annals of Mathematical Statistics 27 (3): 642–669. MR 0083864. doi:10.1214/aoms/1177728174. .
  2. ^ Massart, P. (1990). "The tight constant in the Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality". Annals of Probability 18 (3): 1269–1283. MR 1062069. doi:10.1214/aop/1176990746.