אי-שוויון הסכומים של צ'בישב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אי-שוויון הסכומים של צ'בישב קובע שאם ו- הן שתי סדרות של מספרים, המסודרות באותו כיוון, אז ממוצע המכפלות חוסם את מכפלת הממוצעים, כלומר .

אי השוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב, שהציג אותו.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

למשפט ידועות כמה הוכחות, והכללות רבות. למשל,

  • הגרסה המשוקללת: אם הם מספרים חיוביים ו- כמקודם, אז .
  • גרסת המשתנים המקריים: אם X משתנה מקרי בדיד ו- f,g פונקציות מונוטוניות עולות (במובן החלש), אז ; כלומר, בין שתי פונקציות עולות של אותו משתנה מקרי יש מתאם חיובי.
  • הגרסה הרציפה: אם f,g פונקציות ממשיות אינטגרביליות על הקטע [0,1], ושתיהן מונוטוניות עולות, אז .

הוכחת אי-השוויון[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכיוון שהמספרים סדורים באותו כיוון, לכל מתקיים , כלומר . סיכום לכל i ולכל j נותן .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • The Cauchy-Shwartz Master class, J. Michael Steele, עמ' 76-78.