אי-שוויון קנטורוביץ'

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, אי-שוויון קנטורוביץ' הוא מקרה פרטי של אי-שוויון קושי-שוורץ, שהוא בעצמו הכללה של אי-שוויון המשולש, ונקרא על שם הכלכלן, המתמטיקאי וזוכה פרס נובל הסובייטי, לאוניד קנטורוביץ', שהיה חלוץ בתחום התכנון הליניארי.

בצורתו הפשוטה, אי-שוויון המשולש, קובע כי בכל משולש, סכום אורכי כל שתי צלעות יהיה שווה לאורך הצלע השלישית או גדול ממנה. במילים פשוטות, אי-שוויון קנטורוביץ׳ מתרגם את הרעיון הבסיסי של אי-שוויון המשולש למונחים ולסימונים של תכנון ליניארי.[1]

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

פורמלית, ניתן לבטא את אי-שוויון קנטורוביץ' כך:

נסמן . אם לכל ב-, קיימים , ו- המקיים , אזי

ניסוח הסתברותי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם, בניסוח הקודם, מתקיים גם , ניתן לפרש את המקדמים כהסתברויות. לכן, אם נגדיר משתנה מקרי המקבל את כל אחד מהערכים בהסתברות , אזי

הביטוי שצריך למזער מקבל ערך מינימלי כאשר מחלקים את ההסתברויות בצורה הכי קרובה לקבוצות שוות הסתברות, כלומר, , ואז החסם יהיה הכי גדול. במילים אחרות, אם ניתן לחלק את באופן זר ל- ול- כך שמתקיים , אז

והחסם הדוק.

ניסוח מטריציוני[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרשל ואולקין ניסחו גם גרסה מטריציונית לאי-שוויון קנטרוביץ':[2]

תהי מטריצה הרמיטית חיובית לחלוטין שכל אחד מערכיה העצמיים, , מקיים

עבור ו- חיוביים כלשהם. כמו כן, תהי מטריצה כלשהי המקיימת

,

כאשר הוא הצמוד ההרמיטי של , ו- היא מטריצת היחידה מסדר מתאים.

בתנאים אלה,

.

הדמיון לאי-שוויון קנטורוביץ' שהוצג לעיל מתגלה אם מכפילים מימין ב- את הביטויים בקצוות האי-שוויון, ומתקבל

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי-שוויון קנטורוביץ׳ משמש בראש ובראשונה באנליזת התכנסות, שם הוא מטיל חסם על קצב ההתכנסות של אלגוריתם הירידה התלולה ביותר (steepest descent) של קושי.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ראו מרחב וקטורי, מכפלה פנימית ומרחב נורמי לדוגמאות אחרות כיצד ניתן להכליל את הרעיונות הבסיסיים הטמונים באי-שוויון המשולש – קטע, קו ישר ומרחק – להקשר רחב יותר.
  2. ^ Marshall, A. W.; Olkin, I. (1990). "Matrix versions of the Cauchy and Kantorovich inequalities". Aequationes Mathematicae (Springer Science and Business Media LLC) 40 (1): 89–93. ISSN 0001-9054. doi:10.1007/bf02112284.