אלסטיות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אלסטיות[1] היא התורה המתארת את האנרגיה הדרושה לביצוע דיפורמציה של חומר מסוים, תחת ההנחה שאורך הגל המבצע את אותה דיפורמציה גדול מכל סקאלה מיקרוסקופית במערכת הנידונה.

כאשר מפעילים כוח על גוף נוצרת הזזה של חלקיו. ניתן לחלק את ההשפעה על הגוף לשני חלקים:

  1. הזזה של גוף קשיח - הזזה שבה המרחקים בין חלקיקי הגוף לא משתנים, כלומר הזזה של הגוף במלואו.
  2. דיפורמציה[2] - הזזה שבה המרחק היחסי בין חלקיקים כן משתנה.

בסקירה זו נפתח את התאוריה הבסיסית של האלסטיות, נכתוב בהתחלה את הביטוי הכללי שמתאר דיפורמציה בחומר, לאחר נפתח את הקירוב הלינארי לאנרגיה החופשית הדרושה לביצוע דיפורמציה ולהמחשה נתאר שני מקרים פרטיים: מוצק בעל סימטריה קובית, ומוצק בעל סימטריה איזוטרופית. לבסוף נתאר את האנרגיה לדפורמציה של גביש נוזלי.

לאורך כל הפיתוח נראה שקיימים מספר קבועים התלויים בסוג החומר. את קבועים אלו ניתן לקבל בעזרת חישובים מעולם הפיזיקה האטומית, או ע״י ניסוי. 

הדגמה גרפית של תכונות האלסטיות של חומר מוצק

אלסטיות לא לינארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אלסטיות לא לינארית מתארת תהליך הפיך בו מבצעים דיפורמציה לחומר ללא הנחה שהדיפורמציה קטנה. בשביל לעשות זאת יש להניח שהגוף נמצא במצב התחלה בו הוא לא עבר דיפורמציה, מצב זה נקרא מצב הייחוס. נתאר את המצב לפני ואחרי הדיפורמציה ע״י הווקטורים:

לפני הדיפורמציה אחרי הדיפורמציה
\overrightarrow{r} \overrightarrow{s} = \overrightarrow{r} +\overrightarrow{u}

התורה האלסטית מניחה שהאנרגיה הדרושה לביצוע דיפורמציה תלויה רק בשינוי המרחק בין חלקיקי החומר. כלומר נוכל לרשום:

\left|s\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{dr}\right)-s\left(\overrightarrow{r}\right)\right|^{2}\approx\left|\frac{\partial s}{\partial r_{x}}dr_{x}+\frac{\partial s}{\partial r_{y}}dr_{y}+\frac{\partial s}{\partial r_{z}}dr_{z}\right|^{2}=\sum_{\alpha\beta}g_{\alpha\beta}dr_{\alpha}dr_{\beta}

כאשר g_{\alpha\beta}=\frac{\partial s}{\partial r_{\alpha}}\frac{\partial s}{\partial r_{\beta}} מוגדרת להיות המטריקה.

אלסטיות לינארית[3][עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר \overrightarrow{u} יחסית קטן ביחס ל-\overrightarrow{r} נוכל לקרב לינארית את הנגזרות של s ולהזניח סדרים גבוהים מסדר ראשון. סה״כ נקבל:

g_{\alpha\beta}\cong\delta_{\alpha\beta}+\frac{\partial u_{\beta}}{\partial r_{\alpha}}+\frac{\partial u_{\alpha}}{\partial r_{\beta}}

נגדיר עתה את טנזור המעוות ע״י:

מאמץ - מעוות במערכת צירים קרטזית

\epsilon_{\alpha\beta}\equiv\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{\beta}}{\partial r_{\alpha}}+\frac{\partial u_{\alpha}}{\partial r_{\beta}}\right)

ובשביל לקבל את התאוריה לאלסטיות נניח שהאנרגיה החופשית לביצוע דיפורמציה הולכת כמו ריבוע טנזור המעוות, וזה כדי שכאשר \epsilon_{\alpha\beta}=0 האנרגיה תהיה במינימום ( מה שלא מתקבל באיבר לינארי ) - לא מבצעים דיפורמציה. אם כך, נכתוב את האנרגיה החופשית ( תוך הנחת לוקאליות של הבעיה ):

F=\int dr\epsilon_{\alpha\beta}C_{\alpha\beta\gamma\delta}\epsilon_{\gamma\delta}

כאשר אינדקסים חוזרים נסכמים.

בלי הגבלת הכלליות ניתן לבחור את C כך שהוא יהיה סימטרי בהחלפה של \alpha\leftrightarrow\beta,\gamma\leftrightarrow\delta, \alpha \beta\leftrightarrow\gamma \delta כך שסה״כ נשאר עם 21 מקדמים בלתי תלויים. תחת סימטריות ניתן להוריד את מספר הקבועים הללו, לדוגמה בסימטריה קובית נישאר עם 3 מקדמים בת״ל בלבד.

נהוג לסמן את טנזור הלחץ:

\sigma_{\alpha\beta}=\sum_{\gamma\delta}C_{\alpha\beta\gamma\delta}\epsilon_{\gamma\delta}

ואז לקבל:

F=\int dr\epsilon_{\alpha\beta}\sigma_{\alpha\beta}

אלסטיות בסימטריה קובית[עריכת קוד מקור | עריכה]

סימטריה קובית מוגדרת ככזאת שקיימות בה סימטריות תחת שיקופים בכל אחד מהצירים. ניתן להראות שבמקרה זה נשארים עם שלושה קבועים בלבד מתוך כל ה-21: C_{xxxx},C_{xxyy} ו-C_{xyxy}.

נקבל את הביטוי לאנרגיה חופשית[4]:

F=\int dr\left(C_{xxxx}\left(\epsilon_{xx}^{2}+\epsilon_{yy}^{2}+\epsilon_{zz}^{2}\right)+2C_{xxyy}\left(\epsilon_{xx}\epsilon_{yy}+\epsilon_{yy}\epsilon_{zz}+\epsilon_{zz}\epsilon_{xx}\right)+4C_{xyxy}\left(\epsilon_{xy}^{2}+\epsilon_{yz}^{2}+\epsilon_{zx}^{2}\right)\right)

נהוג במקרה זה לסמן:

\epsilon_{xx}\,\,\epsilon_{yy}\,\,\epsilon_{zz}\,\,\epsilon_{xy}\,\,\epsilon_{yz}\,\,\epsilon_{zx};

\downarrow \ \ \  \downarrow \ \ \ \   \downarrow \ \ \ \   \downarrow\ \ \ \   \downarrow\ \ \   \downarrow

e_{1} \ \ \ e_{2} \ \ \ e_{3} \ \ \ e_{4} \ \ e_{5} \ \ e_{6}

ובאותו אופן מגדירים את הגדלים C_{\alpha\beta\gamma\delta}. נקבל:

F=\int dr\sum_{\alpha\beta=1}^{6}\epsilon_{\alpha}C_{\alpha\beta}\epsilon_{\beta}

עתה ניתן מתוך האנרגיה החופשית לחשב את מודול הנפח ע״י:

B=V\frac{\partial P}{\partial V}=-V\frac{\partial^{2}F}{\partial V^{2}}

ובמקרה של שריג קובי בו נפעיל לחץ אחיד על כל הדפנות נקבל:

e_{1}=e_{2}=e_{3}=\frac{\delta V}{3V},e_{4}=e_{5}=e_{6}=0

\Rightarrow F=\int dr\left[\frac{1}{6}\left(C_{11}+2C_{12}\right)\left(\frac{\delta V}{V}\right)^{2}\right]\Rightarrow B=\frac{1}{3}\left(C_{11}+2C_{12}\right)

אלסטיות בסימטריה איזוטרופית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בגוף בו קיימת סימטריה איזוטרופית, נוספת סימטריה נוספת לבעיית הסימטריה הקובית - סימטריית סיבוב . כלומר אם לכתוב:

e_{\alpha\beta}=\sum_{\gamma\delta}R_{\alpha\gamma}^{*}e'_{\gamma\delta}R_{\delta\beta}

כאשר R היא מטריצת סיבוב כלשהי. נרצה שתחת סיבוב כזה האנרגיה החופשית לא תשתנה.

ניתן ע״י בחירת מטריצת סיבוב המתאימה ל-45 מעלות ודרישה לשוויון באנרגיה החופשית בין המצב ההתחלתי למצב המסובב להראות שמשלושה קבועים בלתי תלויים, יורדים לשני קבועים בלבד. כאשר הקבוע השלישי ניתן ע״י:

C_{11}=C_{12}+2C_{44}

במקרה זה נוכל לכתוב[5]:

F=\frac{1}{2}\int dr\lambda\left(\sum_{\alpha}e_{\alpha\alpha}\right)^{2}+2\mu\sum_{\alpha\beta}e_{\alpha\beta}^{2}

כאשר:

\lambda=C_{12},\mu=C_{44} נקראים קבועי לאמה.

בשביל להבין מעט מה המשמעות של הגדלים הנמצאים באנרגיה החופשית נכתוב את משוואות התנועה של הגוף. נוסיף איבר קינטי סטנדרטי מהצורה:

טנזור המאמצים בתיאור אינדקסים כללי

T=\int dr\frac{1}{2}\rho\left|\dot{u}\left(r\right)\right|^{2} כאשר \rho צפיפות המסה.

באמצעות משוואות אוילר לגרנז׳ נקבל את משוואת התנועה:

\rho\ddot{u}_{\alpha}\left(r\right)=\sum_{\beta}\frac{\partial}{\partial r_{\beta}}\sigma_{\alpha\beta}\left(r\right)

ע״י אינטגרציה בשני בצדדים ניתן לראות את הדבר הבא:

צד שמאל מהווה ע״פ הגדרה את הכוח המופעל על הגוף. בצד ימין ניתן להפעיל את משפט גאוס ולקבל שהכוח הפועל על גוף ניתן ע״י החלק המתאים בטנור הלחץ. ומכאן שמו, שכן הוא באמת מתאר את הלחץ המופעל על גוף בכל אחת מפאותיו. נשים לב שכצפוי הכוח מגיע משפות הגוף בלבד. ניתן לראות באיור את חלקיו של הטנזור.

במקרה האיזוטרופי נוכל לכתוב:

\sigma_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}\sum_{\gamma}e_{\gamma\gamma}+2\mu e_{\alpha\beta}

וע״י הפיכת המטריצה נקבל:

e_{\alpha\beta}=\frac{-\lambda\delta_{\alpha\beta}}{2\mu\left(3\lambda+2\mu\right)}\sum_{\gamma}\sigma_{\gamma\gamma}+\frac{1}{2\mu}\sigma_{\alpha\beta}

אם נפעיל על הגוף לחץ אחיד S בכיוון z נוכל לחשב את מודול יאנג:

S=\sigma_{zz}=Ye_{zz}\Rightarrow Y=\frac{\mu\left(3\lambda+2\mu\right)}{\mu+\lambda}

גביש נוזלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

גביש נוזלי[6] הינה פאזה בחומר בין מוצק לנוזל בה קיים כיוון מועדף למולקולות. כיוון זה נקרא ה-director ונסמן אותו ב-\hat{n}. תורה אלסטית לגביש נוזלי חשובה לדוגמה להבנת כמות האנרגיה הדרושה לשינוי כיוון המולקולות. דבר הכרחי לדוגמה בבניית מסכי LCD. תורה[7] כזו מניחה שהאנרגיה הדרושה לשינוי כיוון ה-director תלויה רק בנגזרות שונות של n תחת ההנחות:

  1. חייבת להיות סימטריה תחת שיקוף - קרי מעבר בין \hat{n} ל--\hat{n}.
  2. אין תלות בבחירת מערכת הצירים - חייבת להיות סימטריה לסיבוב והזזה של הראשית.

ניתן להראות שתחת הנחות אלו נגזרות ראשונות מתבטלות. נשאר לחפש איברים מסדר שני.

לאחר הרבה אלגברה ושימוש בהנחות אלו מקבלים לבסוף שהאנרגיה החופשית ניתנת ע״י

F=\frac{K_{1}}{2}\left(\overrightarrow{\nabla}\cdot\hat{n}\right)^{2}+\frac{K_{2}}{2}\left(\hat{n}\cdot\left(\overrightarrow{\nabla}\times\hat{n}\right)\right)^{2}+\frac{K_{3}}{2}\left(\hat{n}\times\left(\overrightarrow{\nabla}\times\hat{n}\right)\right)^{2}

הפניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ F. D. MURNAGHAN., FINITE DEFORMATIONS OF AN ELASTIC SOLID.*, merican Journal of Mathematics
  2. ^ A. E. H. Love, The Small Free Vibrations and Deformation of a Thin Elastic Shell, The Royal Society
  3. ^ B.R. Seth, Finite Strain in Elastic Problems, The Royal Society Publishing
  4. ^ FRANCIS BIRCH, Finite Elastic Strain of Cubic Crystals, PHYSICAL REVIEW
  5. ^ M. Mooney, A theory of large elastic deformation, Journal of Applied Physics
  6. ^ Michael J.Stephen and Joseph P. Straley, Physics of liquid crystals, REVIEWS OF MODERN PHYSICS
  7. ^ F. C. FRA, ON THE THEORY OF LIQUID CRYSTALS, Discussions of the Faraday Society

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • M.P Marder, Condensed Matter Physics, Wiley & Sons
  • L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Course of Theoretical Physics: Theory of Elasticity Butterworth-Heinemann.
  • J.E. Marsden, T.J. Hughes, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.
  • P.C. Chou, N. J. Pagano, Elasticity: Tensor, Dyadic, and Engineering Approaches, Dover.
  • R.W. Ogden, Non-linear Elastic Deformation, Dover.
  • Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, McGraw Hill Book Company.
  • S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw -Hill 1970.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]