אנטרופיית טסאליס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

האנטרופיה של טסאליס בתרמודינמיקה סטטיסטית היא הכללה של האנטרופיה הסטנדרטית של בולצמן - גיבס, אשר הוצעה על ידי קונסטנטינו טסאליס (אנ')[1] בשנת 1988 עבור המקרה של מערכות לא אקסטנסיביות. אנטרופיית טסאליס ודומותיה נלמדות לרוב בהקשר של פיזיקה סטטיסטית, אך מושג האנטרופיה חשוב לא רק בפיזיקה תרמודינמית וסטטיסטית, אלא גם בתורת האינפורמציה, באנליזה מתמטית ובתורת ההסתברות.

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

הביטוי המתמטי לאנטרופיית טסאליס[2] הוא, במקרה בדיד, עבור מערכת עם מצבים אפשריים ופונקציית הסתברות :

ועבור המקרה הרציף, עם המשתנה המקרי ופונקציית צפיפות ההסתברות :

כאשר- פרמטר חסר יחידות הנקרא אינדקס האנטרופיה, ומאפיין את דרגת האי אקסטנסיביות של המערכת. אין שיטה כללית לדעת מהו ערכו של אינדקס האנטרופיה, והוא בדרך כלל מוערך על ידי ניסויים. קבוע חיובי אשר מגדיר את היחידות הפיזיקליות של הערך הנמדד.

תכונות[3][עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. בגבול שבו אנטרופיית טסאליס מתכנסת לאנטרופית גיבס-בולצמן.
  2. רק כאשר קיים .
  3. ל- קיים מקסימום כאשר כל המצבים המיקרוסקופיים שווי הסתברות- . מקסימום זה נתון על ידי: .כאשר ביטוי זה יהווה מקסימום, ועבור יהווה מינימום.
Image 2021 04 02T10 27 20 550Z.png

מערכת לא אקסטנסיבית[4][עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן בשתי מערכות בלתי תלויות, , כך שבמקרה הבדיד הצפיפות המשותפת של המצבים היא-

ובמקרה הרציף, עם משתנים מקריים , פונקציית הצפיפות המשותפת של המצבים -

אנטרופיית טסאליס של מערכות בלתי תלויות כאלו מקיימת-

וכן ניתן לראות כי אנטרופיית המערכת הכוללת לא מקיימת אקסטנסיביות, אלא במקרה בו .

אנטרופיית טסאליס היחסית[5][עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי הן שתי פונקציות הסתברות המקיימות , ו- . כעת, נגדיר את אנטרופיית טסאליס היחסית בין , :  ;

כאשר:  ;

נשים לב כי גודל זה ידוע בתור האנטרופיה היחסית, ומתכנס לדיברגנץ קולבק-לייבלר (אנ').

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Tsallis, C. (1988). "Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics". Journal of Statistical Physics. 52 (1–2): 479–487. Bibcode:1988JSP....52..479T. doi:10.1007/BF01016429.
  2. ^ Zhang, Yudong; Wu, Lenan (2011). "Optimal Multi-Level Thresholding Based on Maximum Tsallis Entropy via an Artificial Bee Colony Approach". Entropy. 13: 841–859. doi:10.3390/e13040841.
  3. ^ Ramírez-Reyes, Abdiel; Hernández-Montoya, Alejandro Raúl; Herrera-Corral, Gerardo; Domínguez-Jiménez, Ismael (2016). "Determining the Entropic Index q of Tsallis Entropy in Images through Redundancy". Entropy. 18: 302. doi:10.3390/e18080299.
  4. ^ Beck, C. (2002). "Non-additivity of Tsallis entropies and fluctuations of temperature". Europhys. Lett. 57 (3): 329–333. doi:10.1209/epl/i2002-00464-8.
  5. ^ Furuichi, S. (2004). "Fundamental properties of Tsallis relative entropy". Journal of Mathematical Physics. 45: 4869. doi:10.1063/1.1805729.