גבול עליון וגבול תחתון

במתמטיקה, גבול עליון וגבול תחתון הם שני מושגים הקשורים למושג הגבול. הגבול העליון מסומן לרוב ב-$\limsup$ או ב-${\overline {\lim }}$, והגבול התחתון מסומן לרוב ב-$\liminf$ או ב-${\underline {\lim }}$.

הגבול העליון והתחתון מקבלים משמעות שונה כתלות בהקשר שבו הם באים לידי ביטוי. כך למשל, עבור סדרות, הגבול העליון הוא הערך הגבוה ביותר שסדרה יכולה לשאוף אליו והגבול התחתון הוא הערך הנמוך ביותר שסדרה יכולה לשאוף אליו. מנגד, עבור פונקציות, הגבול העליון והגבול התחתון בנקודה הם הערכים אליהם הסופרמום והאינפימום של סדרת סביבות הולכת וקטנה שואפים אליהם.

מונחים אלו שימושיים מאוד במגוון תחומים במתמטיקה, בהם אנליזה מתמטית, תורת הקבוצות, תורת המידה, תורת ההסתברות ועוד.

מבוא ומוטיבציה

מושג הגבול הוא מושג מרכזי וחשוב במתמטיקה עם שימושים רבים בכל תחומי המתמטיקה השונים. עם זאת, עבור סדרות למשל, הגבול לא תמיד קיים. כך למשל הסדרה $a_{n}:=(-1)^{n}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}\right)$ איננה מתכנסת ולכן הגבול אינו מוגדר עבורה. עם זאת, אפשר לנתח את התנהגותה של הפונקציה ככל ש-$n$ שואף לאינסוף. בפרט, אפשר להראות שהערכים החיוביים של הסדרה שואפים ל-${\frac {1}{2}}$ והערכים השליליים שלה שואפים $-{\frac {1}{2}}$. הגבול העליון והגבול התחתון יכולים לייצג תובנה זו.

מעבר לכך, בניגוד למונח הגבול שאינו מוגדר היטב תמיד לכל סדרה שהיא, הגבול העליון והגבול התחתון מוגדרים תמיד כאשר הסדרה נמצאת על הישר הממשי המורחב (כלומר: כולל $\pm \infty$).

סימונים

בערך זה נסמן ב-$\mathbb {N}$,‏ $\mathbb {R}$ ו-${\overline {\mathbb {R} }}$ את קבוצת המספרים הטבעיים, הממשיים והממשיים המורחבים (קבוצת הממשיים בתוספת אינסוף ומינוס אינסוף).

הסימונים $\sup$ ו-$\inf$ מייצגים סופרמום ואינפימום בהתאמה.

סדרות ממשיות

הגדרות

גבול עליון

תהי $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה של מספרים ממשיים ויהי $S\in {\overline {\mathbb {R} }}$. אזי, התנאים הבאים שקולים:

1. $S=\inf _{n}\sup _{m\geq n}a_{m}$
2. $S=\lim _{n\to \infty }\sup _{m\geq n}a_{m}$
3. $S$ הוא הגבול החלקי הגדול ביותר.

אם $S$ מקיים את אחד התנאים השקולים הללו, אזי אומרים ש-$S$ הוא הגבול העליון של $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ ומסמנים אותו ב-$\limsup _{n\to \infty }{a_{n}}$. ניתן להוכיח כי הגבול העליון קיים תמיד במובן הרחב (כלומר, הוא יכול להיות גם אינסוף או מינוס אינסוף) וכי הוא יחיד.

גבול תחתון

תהי $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה של מספרים ממשיים ויהי $I\in {\overline {\mathbb {R} }}$. אזי, התנאים הבאים שקולים:

1. $I=\sup _{n}\inf _{m\geq n}a_{m}$
2. $I=\lim _{n\to \infty }\inf _{m\geq n}a_{m}$
3. $I$ הוא הגבול החלקי הקטן ביותר.

אם $I$ מקיים את אחד התנאים השקולים הללו, אזי אומרים ש-$I$ הוא הגבול התחתון של $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ ומסמנים אותו ב-$\liminf _{n\to \infty }{a_{n}}$. ניתן להוכיח כי הגבול התחתון קיים תמיד במובן הרחב וכי הוא יחיד.

קשר למושג הגבול

ניתן להשתמש בגבול העליון והגבול התחתון כדי לספק הגדרה אלטרנטיבית למושג הגבול:

עבור סדרה כלשהי $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ הסדרה מתכנסת אם ורק אם $\liminf _{n\to \infty }{a_{n}}=\limsup _{n\to \infty }{a_{n}}$. במקרה זה מגדירים את הגבול של הסדרה להיות $\lim _{n\to \infty }{a_{n}}:=\liminf _{n\to \infty }{a_{n}}=\limsup _{n\to \infty }{a_{n}}$.

תכונות

השוואה עם מספר כללי

יהי $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ ויהי $S:=\limsup _{n\to \infty }a_{n}$ ו-$I:=\liminf _{n\to \infty }a_{n}$. כמו כן, יהי $r\in \mathbb {R}$ מספר ממשי כלשהו. אזי:

• אם $r>S$ אז קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים ש-$a_{n}<r$.
• אם $r<S$ אז לכל $N\in \mathbb {N}$ קיים $n>N$ כך ש-$a_{n}>r$.
• אם $r<I$ אז קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים ש-$a_{n}>r$.
• אם $r>I$ אז לכל $N\in \mathbb {N}$ קיים $n>N$ כך ש-$a_{n}<r$.

אריתמטיקה

יהי $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ ו-$\left\{b_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרות של מספרים ממשיים. אזי, מתקיימות התכונות הבאות:

• $\inf _{n}a_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }a_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}\leq \sup _{n}a_{n}$
• $\limsup _{n\to \infty }(-a_{n})=-\liminf _{n\to \infty }a_{n}$
• $\limsup _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\limsup _{n\to \infty }b_{n}$
• $\liminf _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\liminf _{n\to \infty }b_{n}$
• אם $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ ו-$\left\{b_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ הן סדרות אי-שליליות, מתקיים ש-$\limsup _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\right)$ ו-$\liminf _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)$.

סדרות מתכנסות

יהי $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ ו-$\left\{b_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרות של מספרים ממשיים כך ש-$\lim _{n\to \infty }b_{n}$ קיים ושווה ל-$B\in \mathbb {R}$. אזי:

• $\limsup _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}+B$ ו-$\liminf _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\liminf _{n\to \infty }a_{n}+B$.
• אם $B>0$, מתקיים ש-$\limsup _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=B\cdot \limsup _{n\to \infty }a_{n}$ ו-$\liminf _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=B\cdot \liminf _{n\to \infty }a_{n}$.

דוגמאות

• עבור הסדרה מההקדמה $a_{n}:=(-1)^{n}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}\right)$, מתקיים ש-$\limsup _{n\to \infty }{a_{n}}=1/2$ ו-$\liminf _{n\to \infty }{a_{n}}=-1/2$.
• בהינתן שני מספרים טבעיים $p,q$ זרים זה לזה, ניתן להסתכל על הסדרה $a_{n}:=q^{n}(\operatorname {mod} p)$. משפט אוילר מוכיח כי $\liminf _{n\to \infty }{a_{n}}=1$.

פונקציות ממשיות

הגדרות

תהי קבוצה פתוחה $U\subseteq \mathbb {R}$ ופונקציה $f:U\to \mathbb {R}$. כמו כן, יהי $x_{0}\in U$. אזי מגדירים:

$\limsup _{x\to x_{0}}f(x):=\inf _{\delta >0}\sup _{|x-x_{0}|<\delta }f(x)$

$\liminf _{x\to x_{0}}f(x):=\sup _{\delta >0}\inf _{|x-x_{0}|<\delta }f(x)$

כמו כן, ניתן להגדיר את הגבול העליון והגבול כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף:

$\limsup _{x\to \infty }f(x):=\lim _{M\to \infty }\sup _{x\geq M}f(x)$

$\liminf _{x\to \infty }f(x):=\lim _{M\to \infty }\inf _{x\geq M}f(x)$

$\limsup _{x\to -\infty }f(x):=\lim _{M\to \infty }\sup _{x\leq -M}f(x)$

$\liminf _{x\to -\infty }f(x):=\lim _{M\to \infty }\inf _{x\leq -M}f(x)$

התכונות של הגבול העליון והגבול התחתון של פונקציה אנלוגיות לתכונות עבור סדרות המופיעות לעיל.

קשר למושג הרציפות

ניתן להשתמש במושגים של גבול עליון וגבול תחתון של פונקציה בנקודה כדי לספר הגדרה אלטרנטיבית למושג הרציפות:

עבור קבוצה פתוחה $U\subseteq \mathbb {R}$, פונקציה $f:U\to \mathbb {R}$ ו-$x_{0}\in U$, ניתן להראות ש-$f$ רציפה ב-$x_{0}$ אם ורק אם $\limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\liminf _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$.

יתרה מזאת, ניתן להשתמש בגבול העליון ובגבול התחתון כדי להגדיר סוג חלש שיותר של רציפות שנקרא רציפות למחצה:

• $f$ תקרא רציפה למחצה מלמעלה ב-$x_{0}$ אם ורק אם $\limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})$.
• $f$ תקרא רציפה למחצה מלמטה ב-$x_{0}$ אם ורק אם $\liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})$.

דוגמאות

• עבור הפונקציה $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ המוגדרת על-ידי $f(x)=e^{\frac {1}{x}}$ מתקיים כי $\limsup _{x\to 0}f(x)=\infty$ ו-$\liminf _{x\to 0}f(x)=0$.
• עבור הפונקציה $f:(0,\infty )\to \mathbb {R}$ המוגדרת על-ידי $f(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$ מתקיים כי $\limsup _{x\to 0^{+}}f(x)=1$ ו-$\liminf _{x\to 0^{+}}f(x)=-1$.

סדרות של פונקציות

יהי תחום כלשהו $\Omega$ ותהי סדרה של פונקציות $\left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ כך ש-$f_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ לכל $n\in \mathbb {N}$. מגדירים זוג פונקציות $\limsup _{n\to \infty }f_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ ו-$\liminf _{n\to \infty }f_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ כך שלכל $x\in \Omega$:

$(\limsup _{n\to \infty }f_{n})(x):=\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x)$

$(\liminf _{n\to \infty }f_{n})(x):=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x)$

הפונקציות $\limsup _{n\to \infty }f_{n}$ ו-$\liminf _{n\to \infty }f_{n}$ נקראות הגבול העליון של $\left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ והגבול התחתון של $\left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$בהתאמה.

מכיוון שהגבול העליון והגבול התחתון מוגדרים סדרתית נקודה-נקודה, הן מקיימות ככלל את כל התכונות האריתמטיות שצוינו לעיל.

תכונה חשובה נוספת של סדרות של פונקציות נוגעת למרחבי מידה:

אם $\Sigma$ היא סיגמא-אלגברה על $\Omega$, $\mu$ היא מידה ביחס לסיגמא אלגברה זו, וכל הפונקציות $f_{n}$ מדידות לפי $\mu$, אזי גם $\limsup _{n\to \infty }f_{n}$ ו-$\liminf _{n\to \infty }f_{n}$ הן פונקציות מדידות לפי $\mu$.

דוגמה

נתונה סדרת פונקציות $f_{n}:[0,1]\to \mathbb {R}$ כך שלכל $n\in \mathbb {N}$ ולכל $x\in [0,1]$ מתקיים ש:

$f_{n}(x):={\frac {n\cdot (-1)^{n}+1}{n}}x$

ניתן להראות כי:

$(\limsup _{n\to \infty }f_{n})(x)=x$

$(\liminf _{n\to \infty }f_{n})(x)=-x$

ניתן לראות כי כל הפונקציה בסדרה מדידות לפי מידת לבג וכן גם הגבול העליון והתחתון.

סדרות של קבוצות

הגדרות

תהי קבוצה כלשהי $\Omega$ וסדרה של תתי-קבוצות שלה $\left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$. אזי, מגדירים את הגבול העליון והגבול התחתון של הסדרה באופן הבא:

$\limsup _{n\to \infty }{A_{n}}:=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }{A_{m}}$

$\liminf _{n\to \infty }{A_{n}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }{A_{m}}$

ניתן גם להגדיר את הגבול העליון והגבול התחתון של סדרת קבוצות באופן השקול הבא:

• $a\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}$ אם ורק אם לכל $n\in \mathbb {N}$ קיים $m>n$ כך ש-$a\in A_{m}$.
• $a\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}$ אם ורק אם קיים $n\in \mathbb {N}$ כך שלכל $m>n$ מתקיים ש-$a\in A_{m}$.

אם מתקיים ש$\limsup _{n\to \infty }A_{n}=\liminf _{n\to \infty }A_{n}=:L$ אז אומרים שהסדרה $\left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת וש-$\lim _{n\to \infty }A_{n}=L$.

תכונות

יהי $\left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ ו-$\left\{B_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרות של קבוצות תחת קבוצה $\Omega$ כלשהי. אזי, מתקיימות התכונות הבאות:

• $\inf _{n}A_{n}\subseteq \liminf _{n\to \infty }A_{n}\subseteq \limsup _{n\to \infty }A_{n}\subseteq \sup _{n}A_{n}$
• $\limsup _{n\to \infty }(A_{n})^{\complement }=\left(\liminf _{n\to \infty }A_{n}\right)^{\complement }$ ($A^{\complement }$ מייצג את המשלים ל-$A$, כלומר $\Omega \backslash A$)
• $\limsup _{n\to \infty }(A_{n}\cup B_{n})=\limsup _{n\to \infty }A_{n}\cup \limsup _{n\to \infty }B_{n}$
• $\liminf _{n\to \infty }(A_{n}\cap B_{n})=\liminf _{n\to \infty }A_{n}\cap \liminf _{n\to \infty }B_{n}$
• $\limsup _{n\to \infty }(A_{n}\cap B_{n})\subseteq \limsup _{n\to \infty }A_{n}\cap \limsup _{n\to \infty }B_{n}$
• $\liminf _{n\to \infty }(A_{n}\cup B_{n})\supseteq \liminf _{n\to \infty }A_{n}\cup \liminf _{n\to \infty }B_{n}$
• עבור $B\subseteq \Omega$, אם הגבול $\lim _{n\to \infty }B_{n}$ קיים ושווה ל-$B$, אזי $\limsup _{n\to \infty }(A_{n}\cap B_{n})=\limsup _{n\to \infty }A_{n}\cap B$ ו-$\liminf _{n\to \infty }(A_{n}\cup B_{n})=\liminf _{n\to \infty }A_{n}\cup B$.
• בפרט, עבור $A,B\subseteq \Omega$, אם הגבולות $\lim _{n\to \infty }A_{n}$ ו-$\lim _{n\to \infty }B_{n}$ קיימים ושווים ל-$A$ ול-$B$ בהתאמה, אזי גם הגבולות $\lim _{n\to \infty }(A_{n}\cap B_{n})$ ו-$\lim _{n\to \infty }(A_{n}\cup B_{n})$ קיימים ושווים ל-$A\cap B$ ו-$A\cup B$ בהתאמה.

דוגמה

נתונה סדרת הקטעים הסגורים $A_{n}:=\left[1+{\frac {2\cdot (-1)^{n}}{n}},2+{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\right]$. קצות הקטעים הללו מתכנסים ל-1 ול-2, אך מבצעים תנודות למעלה ולמטה לסירוגין סביב כל קצה שכזה.

עבור כל $1<a<2$ אפשר להראות כי $a\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}$ וגם $a\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}$. עם זאת, הדבר איננו נכון עבור הקצוות 1 ו-2. למעשה, $\liminf _{n\to \infty }A_{n}$ הוא הקטע הפתוח $(1,2)$ בעוד $\limsup _{n\to \infty }A_{n}$ הוא הקטע הסגור $[1,2]$.

שימושים

הגבול העליון והגבול התחתון באים לידי שימוש במגוון רחב של למות ומשפטים בתחומים מתמטיים רבים.

כך למשל, למספר מבחני התכנסות של סדרות ושל טורים ישנן גרסאות חזקות העושות שימוש בגבול העליון והגבול התחתון במקום הגבול הסטנדרטי. גרסאות אלו של המבחנים הללו מאפשרות להוכיח התכנסות במקרים שבהם המבחן הסטנדרטי נכשל. דוגמאות למבחנים כאלו הם מבחן המנה ומבחן השורש.

מספר משפטים חשובים נסובים סביב הגבול העליון והתחתון, למשל משפט קושי-אדמר והלמה של פאטו באנליזה, או חוק האפס-אחד של קולמוגורוב והלמה של בורל-קנטלי בהסתברות.

ככלי בהוכחת משפטים, ניתן להשתמש בגבול העליון והתחתון להוכיח משפטים שונים כגון הלמה של פקטה והמשפט הארגודי של קינגמן (Kingman's subadditive ergodic theorem).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא גבול עליון וגבול תחתון בוויקישיתוף

• גבול עליון וגבול תחתון, באתר MathWorld (באנגלית)