גודל (מתמטיקה)

במתמטיקה, גודל של עצם מתמטי הוא תכונה שלו שניתן להשתמש בה כדי לקבוע האם העצם גדול יותר או קטן יותר מעצמים אחרים מסוגו.

ביוון העתיקה

מתמטיקאים ביוון העתיקה הבחינו בין סוגים אחדים של גודל, בהם:

• שברים חיוביים
• קטעים של ישר: מסודרים לפי אורך.
• צורות מישוריות: מסודרות לפי שטח.
• גופים תלת-ממדיים: מסודרים לפי נפח.
• זוויות, שגודלן נמדד ברדיאנים או במעלות.

הם הראו ששני הגדלים הראשונים ברשימה זו אינם זהים, ואף אינם מהווים מערכות איזומורפיות של גודל, בכך שהוכיחו שאורך אלכסון של ריבוע שאורך צלעו 1 אינו רציונלי (אי אפשר להציגו כמנה של שני מספרים שלמים).

מספרים

גודל של מספר $x$ קרוי בדרך כלל הערך המוחלט שלו.

הערך המוחלט של מספר ממשי $r$ הוא

$\left|r\right|=r$ כאשר $\ r>=0$

$\left|r\right|=-r$ כאשר $\ r<0$

ניתן לראות ערך מוחלט של מספר גם כמרחק שלו מ0 על הישר הממשי.

מספר מרוכב z ניתן לראות כנקודה P במרחב אוקלידי דו-ממדי שקרוי המישור המרוכב. הערך המוחלט של z הוא מרחקו מראשית הצירים. הערך המוחלט של מספר מרוכב z = a + bi הוא

$\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

כאשר המספרים הממשיים a ו-b הם החלק הממשי והחלק המדומה של z, בהתאמה.
דוגמה: הערך המוחלט של המספר המרוכב −3 + 4i הוא ${\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}=5$.

לחלופין, הערך המוחלט של מספר מרוכב z הוא שורש ריבועי של מכפלת המספר המרוכב z בצמוד המרוכב שלו ${\bar {z}}$. למספר מרוכב $z=a+bi$ הצמוד המרוכב הוא ${\bar {z}}=a-bi$.

$\left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

(כאשר $i^{2}=-1$).

מרחבים וקטוריים

מרחב וקטורי אוקלידי

וקטור אוקלידי מייצג את המיקום של נקודה P במרחב אוקלידי. ויזואלית ניתן לתאר את הווקטור כחץ מראשית הצירים אל הנקודה P. מתמטית, וקטור x במרחב אוקלידי n-ממדי מוגדר כרשימה מסודרת של n מספרים ממשיים (הקואורדינטות הקרטזיות של P) x = [x₁, x₂, ..., x_n]. הגודל, או האורך, של וקטור אוקלידי מסומן $\|x\|$ ומוגדר בדרך כלל כנורמה האוקלידית שלו:

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

דוגמה: במרחב אוקלידי תלת-ממדי, גודל הווקטור [3, 4, 12] הוא ${\sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}}={\sqrt {169}}=13$. תוצאה זו שקולה למכפלה סקלרית של הווקטור בעצמו:

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.$

מרחב נורמי

ערך מורחב – מרחב נורמי

לווקטור כללי במרחב וקטורי לא מיוחס גודל. כאשר במרחב הווקטורי מוגדרת נורמה, למשל במרחב וקטורי אוקלידי (כאמור לעיל), המרחב קרוי מרחב נורמי. הנורמה של וקטור v במרחב נורמה נחשבת לגודל שלו.

סקאלה לוגריתמית

ערך מורחב – סקאלה לוגריתמית

השוואה בין גדלים המשתרעים על-פני טווח רחב מאוד של ערכים נוח להציג בסקאלה לוגריתמית. דוגמאות: עוצמת קול הנמדדת בדציבל, בהירות נראית של כוכבים, סולם ריכטר למדידת גודלה של רעידת אדמה.