גנוס (גאומטריה אלגברית)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בגאומטריה אלגברית ובגאומטריה אריתמטית, הגנוס של עקום (מרוכב) הוא הגנוס של היריעה שהעקום מגדיר כמשטח רימן. הגנוס הוא מדד מספרי למורכבות העקום, בעיקר דרך הטריכוטומיה: הספירה של רימן היא בעלת גנוס g=0, עקומים בעלי גנוס g=1 הם עקומים אליפטיים, ולעקומים אחרים g>1.

גנוס של שדה פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

משטח רימן אפשר לתאר על ידי שדה הפונקציות שלו, שהוא שדה מדרגת טרנסצנדנטיות 1 מעל המרוכבים. גם להפך, שדה מהצורה , כאשר w תלוי ב-z, מגדיר משטח רימן, והגנוס של השדה מוגדר כגנוס של המשטח. משטח המוגדר על ידי משוואה מהצורה , כאשר f הוא פולינום, נקרא עקום היפר-אליפטי, והגנוס שלו שווה לחלק השלם של . מאי-שוויון רימן נובע שכל עקום מגנוס 1 (ולכן כל שדה פונקציות מגנוס 1) מוגדר על ידי משוואה מהצורה , ולכן הוא עקום אליפטי. בדומה לזה, כל עקום מגנוס 2 הוא היפר-אליפטי; אבל טענה זו אינה נכונה לגנוס גבוה יותר.

הגנוס בגאומטריה אריתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הטריכוטומיה שהוזכרה לעיל מתבטאת באופי השונה של בעיות אריתמטיות על-פי הגנוס של המשוואות המעורבות. לעקומים מגנוס 0 יש פרמטריזציה מלאה, ועקומים מגנוס 1 הם אליפטיים. השערת מורדל קובעת שלכל עקום אלגברי מגנוס גדול מ-1 מעל שדה מספרים, יש מספר סופי של נקודות רציונליות.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Harvey Cohn, Introduction to the construction of class fields, פרק 5.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]