גרופואיד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, גרופואיד הוא קטגוריה קטנה שכל המורפיזמים שלה הם איזומורפיזמים, כלומר הפיכים (מימין ומשמאל).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ביתר פירוט, גרופואיד הוא קטגוריה המורכבת מקבוצה של עצמים ואוסף מורפיזמים (הנקראים "חצים") ביניהם עם 2 העתקות הנקראות source (מקור) ו-target (מטרה) כך שלכל חץ (מורפיזם)

ו-.

לכן, אפשר לתאר חץ כמורפיזם מ- ל-. סימון מקובל לחץ הוא

או .

בגרופואיד, כמו כל קטגוריה, קיימת הרכבה של חצים. הרכבה של ו- מוגדרת כאשר ואז הוא חץ (מורפיזם) בקטגוריה. למעשה, ההרכבה היא פעולת כפל עם תחום שהוא מכפלת הסיב

וטווח שהוא . הרכבה זו היא פעולה אסוציאטיבית: אם ההרכבה של מוגדרת אזי מתקיים .

ישנו גם שיכון של בתוך המתאים לכל אובייקט את מורפיזם הזהות שמקיים את התכונות המצופות מזהות: לכל מתקיים ולכל מתקיים .

לבסוף, אנו דורשים שכל חץ הוא הפיך, כלומר אם הוא חץ בקטגוריה, אז קיים החץ ההפכי כך שמתקיים ו-.

את הגרופואיד מסמנים או .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורה היא גרופואיד עם עצם אחד ולכן כל חץ הוא מהצורה וכל החצים ב-A ניתנים להרכבה זה עם זה. קיים איבר יחידה והוא . לכל חץ יש הפכי , ולכן זהו גרופואיד.

דוגמה טיפוסית: הקטגוריה שהאובייקטים שלה הם תת-הקבוצות של קבוצה קבועה, והמורמפיזמים הם התאמות חד-חד-ערכיות ועל בין תת-קבוצות. כשמקודדים את התכונות של קטגוריות כאלה לאקסיומות, מתקבלת הגדרה לאובייקט הקרוי גרופואיד אינדוקטיבי; גרופואידים אלה מתאימים באופן טבעי לחבורות למחצה הפיכות.

עוד דוגמה: גרופואיד פעולה - האובייקטים שלו הם איברי קבוצה שחבורה פועלת עליה, והחצים ניתנים על ידי לכל , כלומר: כל חץ הוא זוג סדור כך ש-. קל לראות שכל חץ הוא הפיך ו-.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ב-1929 הוכיח H.Brandt שכל גרופואיד קשיר הוא קטגוריה שבה האובייקטים הם קבוצה והמורפיזמים מ- ל- נמצאים בהתאמה לאברים של חבורה קבועה, . "אלגברת החבורה" של גרופואיד כזה היא אלגברת מטריצות מעל אלגברת החבורה של .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעבר התייחסה המלה גרופואיד לקבוצה עם פעולה בינארית כלשהי; אובייקט זה מכונה היום מאגמה.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • The algebraic theory of semigroups, A. H. Clifford, G. B. Preston‏.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]