גרעין (תורת הקטגוריות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקטגוריות, גרעין הוא מושג כללי המכליל את מושג הגרעין האלגבראי - דהיינו גרעין של הומומורפיזם של חבורות, חוגים ומודולים.

באופן לא לגמרי פורמלי, גרעין של מורפיזם עבור אובייקטים כלשהם, הוא האובייקט "הכללי ביותר" עם מורפיזם מתאים מהצורה , כך ש-.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי קטגוריה, המכילה את מורפיזם האפס. יהיו אובייקטים ויהי מורפיזם.

הגרעין של הוא אובייקט שעבורו קיים מורפיזם שהוא המשווה של ושל מורפיזם האפס , וכן אוניברסלי ביחס לתכונה זו של קיום .

באופן מפורש, גרעין הוא אובייקט המקיים את שתי התכונות הבאות:

  • , כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:
KerCat01.png
  • בהינתן אובייקט עם מורפיזם כלשהו כך ש-, קיים מורפיזם יחיד כך ש . כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:
KerCat02.png

במקרים רבים, במיוחד באלגברה, מתייחסים לגרעין כאל הגרעין האלגברי, וההמורפיזם הוא העתקת ההכלה הטבעית.

ניתן להראות כי k הוא תמיד מונומורפיזם.

לא לכל מורפיזם בהכרח קיים גרעין, אך אם קיים גרעין אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בקטגוריה של חבורות, בהינתן הומומורפיזם , אם K הוא הגרעין של f במובן הרגיל של המילה, אז K היא תת-קבוצה של X, ומורפיזם ההכלה הוא הגרעין של f במובן הקטגורי.
  • בקטגוריה של חוגים אין גרעין, משום שאין בקטגוריה זו מורפיזם אפס. (שהרי מניחים כי הומומורפיזמים מעתיקים את היחידה ליחידה).