גרעין (תורת הקטגוריות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקטגוריות, גרעין הוא מושג כללי המכליל את מושג הגרעין האלגבראי - דהיינו גרעין של הומומורפיזם של חבורות, חוגים ומודולים.

באופן לא לגמרי פורמלי, גרעין של מורפיזם \,f:X\rightarrow Y עבור X,Y אובייקטים כלשהם, הוא האובייקט K "הכללי ביותר" עם מורפיזם מתאים מהצורה \,k:K\rightarrow X, כך ש-\,f\circ k = 0.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי C קטגוריה, המכילה את מורפיזם האפס. יהיו X,Y אובייקטים ויהי \,f:X\rightarrow Y מורפיזם.

הגרעין של f הוא אובייקט \ker(f) שעבורו קיים מורפיזם k : \ker (f) \to Y שהוא המשווה של f ושל מורפיזם האפס 0_{X,Y} : X \to Y, וכן \ker (f) אוניברסלי ביחס לתכונה זו של קיום k.

באופן מפורש, גרעין הוא אובייקט המקיים את שתי התכונות הבאות:

KerCat01.png
  • בהינתן אובייקט K' עם מורפיזם כלשהו \,k':K'\rightarrow X כך ש-\,f\circ k' = 0_{K',Y}, קיים מורפיזם יחיד \,u:K'\rightarrow K כך ש \,k\circ u = k'. כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:
KerCat02.png

במקרים רבים, במיוחד באלגברה, מתייחסים לגרעין כאל הגרעין האלגברי, וההמורפיזם k הוא העתקת ההכלה הטבעית.

ניתן להראות כי k הוא תמיד מונומורפיזם.

לא לכל מורפיזם בהכרח קיים גרעין, אך אם קיים גרעין אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בקטגוריה של חבורות, בהינתן הומומורפיזם \,f:X\rightarrow Y, אם K הוא הגרעין של f במובן הרגיל של המילה, אז K היא תת-קבוצה של X, ומורפיזם ההכלה \,k:K\rightarrow X הוא הגרעין של f במובן הקטגורי.
  • בקטגוריה של חוגים אין גרעין, משום שאין בקטגוריה זו מורפיזם אפס. (שהרי מניחים כי הומומורפיזמים מעתיקים את היחידה ליחידה).