בורגום נולד בעיר ארתור שבדקוטה הצפונית, בנם של קת'רין (לבית קילבורן) וג'וזף בויד בורגום. סיים תואר ראשון בשנת 1978 באוניברסיטת המדינה של דקוטה הצפונית. כשנתיים לאחר מכן, בשנת 1980, הוא סיים את לימודי התואר השני במנהל עסקים באוניברסיטת סטנפורד. בורגום החל לעסוק במסחר בשנת 1983. בשנים 2001–2006 מילא תפקידים בכירים בחברת מיקרוסופט. בנוסף על כך, בורגום שימש כחבר המועצה המייעצת לבית הספר למנהל עסקים של אוניברסיטת סטנפורד. בשנת 2008 הקים קרן פילנתרופית על שמו אשר מתמקדת בענייני נוער, חינוך ובריאות.
בשנת 2016 הכריז בורגום על כוונתו להתמודד על תפקיד מושל דקוטה הצפונית. באפריל זכה במועמדותה של המפלגה הרפובליקנית עם כ-59% מהקולות. הבחירות התקיימו ב-8 בנובמבר, ובהן בורגום זכה בכ-76% מהקולות. הוא הושבע לתפקיד ב-15 בדצמבר 2016 וסיים את תפקידו כמושל דקוטה הצפונית ב-15 בדצמבר 2024.