דיסק היחידה

דיסק יחידה (אוקלידי) פתוח

במתמטיקה, דיסק היחידה הפתוח סביב P (כאשר P היא נקודה נתונה במישור), היא קבוצת הנקודות שהמרחק שלהן מ- P קטן מ-1:

$D_{1}(P)=\{Q:\vert P-Q\vert <1\}.\,$

דיסק היחידה הסגור סביב P היא קבוצת הנקודות שהמרחק שלהן מ- P קטן או שווה לאחד:

${\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|P-Q|\leq 1\}.\,$

אם לא צוין אחרת, המונח דיסק יחידה משמש לדיסק היחידה הפתוח סביב ראשית הצירים, כלומר $D_{1}(0)$, ביחס למרחק האוקלידי הסטנדרטי .

דיסק היחידה הפתוח הוא החלק הפנימי של מעגל היחידה (מעגל ברדיוס 1, שמרכזו בראשית הצירים). ניתן לזהות קבוצה זו עם קבוצת כל המספרים המרוכבים בעלי ערך מוחלט קטן מאחד. כאשר מסתכלים על דיסק היחידה כתת-קבוצה של המישור המרוכב (C), הוא מסומן לעיתים קרובות $\mathbb {D}$.

מישור היפרבולי

דיסק היחידה הפתוח מהווה את קבוצת הנקודות עבור מודל דיסק פואנקרה של המישור ההיפרבולי. קשתות מעגליות אורתוגונליות למעגל היחידה יוצרות את ה"קווים הישרים" במודל זה. בשפת הגאומטריה הדיפרנציאלית, הקשתות המעגליות המאונכות למעגל היחידה הן גיאודזים המהווים את המרחק הקצר ביותר בין נקודות במודל.

גם מודל הדיסק של פואנקרה וגם חצי-המישור של פואנקרה הם מודלים קונפורמיים של המישור ההיפרבולי, כלומר זוויות בין עקומות נחתכות נשמרות על ידי תנועות של חבורות האיזומטריות שלהן.

מודל נוסף של המרחב ההיפרבולי בנוי גם הוא על דיסק היחיד הפתוח, מודל בלטרמי-קליין. מודל זה אינו קונפורמי (כלומר, זוויות ומעגלים אינם נשמרים), אבל מקיים את המאפיין שהגיאודזים שלו הם קווים ישרים.

דיסק היחידה הפתוח, המישור וחצי המישור העליון

הפונקציה:

$f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}$

היא דוגמה לפונקציה אנליטית ממשית חד-חד-ערכית ועל מדיסק היחידה הפתוח למישור. הפונקציה ההפוכה שלה גם היא אנליטית. מכאן, אם נחשוב על דיסק היחידה הפתוח כיריעה ממשית אנליטית דו-ממדית, אזי הוא איזומורפי לכל המישור. בפרט, דיסק היחידה הפתוח הוא הומיאומורפי לכל המישור.

עם זאת, אין מיפוי קונפורמי חד-חד-ערכי ועל בין דיסק היחידה הפתוח למישור. ישנם מיפויים קונפורמיים בין דיסק היחידה הפתוח לחצי המישור העליון הפתוח. ניתן לבנות למשל מיפוי קונפורמי חד-חד-ערכי ועל מדיסק היחידה הפתוח לחצי המישור העליון הפתוח כהרכבה של שתי הטלות סטריאוגרפיות: ראשית, דיסק היחידה מוטל סטריאוגרפית כלפי מעלה על חצי הכדור העליון של ספירת היחידה, תוך שימוש ב"קוטב הדרומי" של ספירת היחידה כמרכז ההטלה, ואז חצי הכדור הזה מוקרן הצידה על חצי מישור אנכי הנוגע בכדור, כאשר מרכז ההטלה היא הנקודה על חצי הכדור שממול לנקודת המגע.

קישורים חיצוניים

• Weisstein, Eric W. "Unit disk". MathWorld.
• On the Perimeter and Area of the Unit Disc, by J.C. Álvarez Pavia and A.C. Thompson
• דיסק היחידה, באתר MathWorld (באנגלית)