ד'אלמברטיאן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה ופיזיקה, בעיקר בתחומים תורת היחסות הפרטית, אלקטרומגנטיות ותורת הגלים, אופרטור ד'אלמבר או ד'אלמברטיאן , המסומל באמצעות \scriptstyle\Box ("בוקס") ונקרא על שם ז'אן לה-רון ד'אלמבר, הוא הרחבה של הלפלסיאן למרחב מינקובסקי ה-4 ממדי.

בקואורדינטות קרטזיות הוא מוגדר על ידי:


\begin{align}
\Box & = \partial_\mu \partial^\mu = g_{\mu\nu} \partial^\nu \partial^\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} = {\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2
\end{align}

כאשר g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix} היא מטריקת מינקובסקי ו-\nabla^2 הוא הלפלסיאן והמכפלה מחושבת על פי הסכם הסכימה של איינשטיין.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

 (\Box + m^2) \psi = 0. \,
כאשר \psi\, היא פונקציית הגל של חלקיק יחסותי חופשי חסר ספין ו-m\, היא מסת החלקיק.
 \Box A^{\mu} = 0
כאשר  A^{\mu} =( \phi, \vec A ) הוא ה-4-וקטור של הפוטנציאל האלקטרומגנטי היחסותי של השדה האלקטרומגנטי.
  • משוואת הגלים לתנודות קטנות יכולה להכתב באמצעות הד'אלמברטיאן:
 \Box_{c} u\left(x,t\right) \equiv u_{tt} - c^2u_{xx} = 0\,
כאשר u\left(x,t\right)\, זו התזוזה מנקודת שיווי המשקל.
 \Box G(x-x') = \delta(x-x')
כאשר \delta(x-x')\, היא פונקציית דלתא של דיראק ו-x\, ו-x'\, הם נקודות במרחב מינקובסקי. פתרון המשוואה נותן את פונקציית גרין:
G(t,x,y,z) = \frac{1}{2\pi} \Theta(t) \delta(t^2 - x^2 - y^2 - z^2)
כאשר \,\Theta היא פונקציית מדרגה.