החבורה הסימטרית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, החבורה הסימטרית של קבוצה \ X היא החבורה המכילה את כל הפונקציות החד-חד ערכיות ועל מ-\ X ל- \ X, עם פעולת הכפל המוגדרת על ידי הרכבת פונקציות. מקובל לסמן חבורה זו, שהיא הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורת סימטריות, בסימון \ S_X או \ \operatorname{Sym}(X).

כאשר הקבוצה \ X סופית, ניתן להניח שאבריה הם \ X=\{1,...,n\}, ואז מסמנים את חבורת הסימטריות שלה ב-\ S_n, שבה יש \ n! איברים הנקראים תמורות.

הגדרות וסימונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מחזור (Cycle) מסדר r[עריכת קוד מקור | עריכה]

מחזור מסדר r הוא תמורה בה r איברים מחליפים ביניהם מקומות באופן מעגלי (נקרא גם אופן ציקלי). את המחזור מסמנים על ידי כתיבת אברי המחזור בתוך סוגריים עגולים, כאשר התמונה של כל אבר היא האיבר שרשום אחריו. לדוגמה, \ f=(1\ 4\ 7\ 9)\in S_9 הוא מחזור מסדר 4, שבו \ f(1)=4, f(4)=7, f(7) = 9, f(9)=1 ולכל שאר המספרים מתקיים \ f(x)=x (באופן לא פורמלי אומרים שאת שאר האברים הוא "משאיר במקום"). שני מחזורים נקראים זרים אם קבוצות האברים שאותם הם לא משאירים במקום הן זרות. לדוגמה, המחזור (1 \ 2\ 9) זר למחזור (4\ 10\ 5). משפט בסיסי מראה כי ניתן להציג באופן יחיד כל תמורה כהרכבה של מחזורים זרים (עד כדי סדר), ולכן במובן מסוים מחזורים הם אבני הבנייה של חבורת התמורות.

חילוף (או בלעז טרנספוזיציה) הוא מקרה פרטי של מחזור מסדר 2. כלומר, חילוף מחליף בין שני אברים בקבוצה ואת שאר אברי הקבוצה הוא משאיר במקומם.

רישום תמורות באמצעות מטריצה[עריכת קוד מקור | עריכה]

דרך נוספת לרשום תמורות באמצעות מטריצה דו-שורתית עם n עמודות. השורה הראשונה מייצג את המצב ההתחלתי של הרצף (בדרך כלל כל איבר נמצא במקומו הטבעי [1 במקום הראשון, 2 בשני, וכו']) ואילו השורה השנייה מצייגת את המצב של האיברים אחרי הפעלת התמורה עליהם. למשל:

 f = (1 \ 2 \ 3)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3  \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}

הוא הייצוג במטריצה של מחזור מסדר-3 על הקבוצה {1,2,3}, שבו \ f(1)=2, f(2)=3, f(3) = 1 .

שיטת כתיבה זו מסורבלת למדי ולרוב משתמשים בייצוג בעזרת מחזורים זרים.

דוגמה להרכבת (כפל) תמורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו  f = (1\ 3)(2)(4\ 5)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{bmatrix}

ו-  g = (1\ 2\ 5)(3\ 4)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{bmatrix}

משמעות הסימון f\cdot g היא התמורה המתקבלת מהפעלת g ואחריה את f.  fg = (1\ 2\ 4)(3\ 5)=\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3\end{bmatrix} . (כי g מעביר את 1 ל- 2 ולאחר מכן f משאיר את 2 במקום, וכן הלאה). יש לשים לב שבאופן כללי כפל תמורות אינו חילופי, כלומר f\cdot g\ne g\cdot f.

סימן של תמורה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור, חילוף היא תמורה שמחליפה שני איברים זה בזה ואת השאר היא משאירה במקום. ניתן להוכיח שכל תמורה יכולה להיכתב כמכפלה של חילופים. לדוגמה, קל לבדוק שכל מחזור מקיים את השיווין (a\ b\ c\ d \dots y\ z)=(bc)(cd)\dots(yz)(za).

תמורה שניתן להציגה כמכפלה של מספר זוגי של חילופים נקראת תמורה זוגית, ואילו תמורה שהיא מכפלה של מספר אי-זוגי של חילופים נקראת תמורה אי-זוגית. למרות שההצגה של תמורה בתור מכפלת חילופים אינה יחידה, הזוגיות של מספר החילופים בכל שתי הצגות תמיד תהיה זהה, ולכן מושג הזוגיות של תמורה מוגדר היטב. בדוגמה של כפל התמורות, \ g היא מכפלה של שלושה חילופים ולכן היא אי-זוגית בעוד \ f היא תמורה זוגית.

היות ומספר החילופים במכפלה של שתי תמורות הוא פשוט סכום מספרי החילופים בכל אחת מהתמורות, הזוגיות של מכפלת תמורות פועלת לפי אותם החוקים של חיבור מספרים שלמים. כלומר, מכפלה של תמורה זוגית עם תמורה אי-זוגית היא אי-זוגית, וכל צירוף אחר הוא זוגי.

אם מגדירים את פונקציית הסימן על ידי \operatorname{sign}(f)=+1 אם f תמורה זוגית ו-\operatorname{sign}(f)=-1 אם f היא אי-זוגית, אז ההעתקה\ \operatorname{sign}:S_n\rightarrow\{+1,-1\}\equiv\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}: היא הומומורפיזם של חבורות. גרעין ההעתקה, כלומר קבוצת התמורות הזוגיות, נקרא חבורת התמורות הזוגיות ומקובל לסמן אותו באות \ A_n. זוהי תת חבורה נורמלית של \ S_n ויש בה בדיוק \ n!/2 איברים.

תכונות של החבורות הסימטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל החבורות הסימטריות (מסדר \ n>2) יש מרכז טריוויאלי. למעט החבורה \ S_6, שיש לה אוטומורפיזם חיצוני, כל האוטומורפיזמים של החבורות \ S_n הם פנימיים (כלומר, מושרים על ידי הצמדה), ולכן החבורות \ S_n (כאשר \ n\neq 2,6) הן שלמות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]