החלפה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, תכונת ההחלפה היא תכונה של מודולים, הנלמדת בקשר לפירוק לסכום ישר (כגון במשפט קרול-שמידט) והרמה של אידמפונטים.

הגדרה

למודול $A$ יש תכונת ההחלפה הסופית אם בכל מקרה בו $A$ הוא מחובר ישר בסכום ישר $M=M_{1}\oplus M_{2}$, יש פירוק $M=A\oplus (M_{1}'\oplus M_{2}')$ שבו $M_{1}'\subset M_{1},M_{2},\subset M_{2}$ (נובע מכאן שכל $M_{i}'$ הוא מחובר ישר של $M_{i}$).

באופן כללי יותר, עבור מונה $\alpha$, למודול $A$ יש תכונת ההחלפה ה-$\alpha$ אם בכל מקרה בו $A$ הוא מחובר ישר בסכום ישר $M=\bigoplus _{i\in \alpha }M_{i}$, יש פירוק $M=A\oplus \bigoplus _{i\in \alpha }M_{i}'$ שבו $M_{i}'\subset M_{i}$ לכל $i$ (וגם כאן נובע שכל $M_{i}'$ הוא מחובר ישר של $M_{i}$). התכונה נעשית חזקה יותר ככל שהמונה $\alpha$ גדול יותר. אם $A$ מקיים את התנאי לכל $\alpha$, אומרים שיש לו תכונת ההחלפה (הכללית). כל תכונות ההחלפה הסופיות (ל-$2\leq \alpha <\infty$) שקולות זו לזו.

תכונת ההחלפה הסופית גוררת את תכונת ההחלפה הכללית אם המודול נוצר סופית, או אם הוא סכום ישר של מודולים אי-פרידים; במקרה הכללי זוהי בעיה פתוחה. מודול פרויקטיבי עם תכונת ההחלפה הבת-מניה מקיים את תכונת ההחלפה הכללית.

לכל מודול איג'קטיבי יש תכונת ההחלפה.

תכונת ההחלפה וסכומים ישרים

תכונת ההחלפה ה-$\alpha$ עוברת ממודול למחובר ישר שלו, ואם היא נכונה לשני מודולים היא נכונה גם לסכום הישר שלהם.

יהי $A$ מודול אי-פריד (כזה שאינו סכום ישר). אז הוא מקיים את תכונת ההחלפה, אם ורק אם הוא מקיים את תכונת ההחלפה הסופית, אם ורק אם הוא "אי-פריד בחזקה" (כלומר, חוג האנדומורפיזמים שלו הוא מקומי). בפרט, אם המודול אי-פריד, תכונת ההחלפה הסופית גוררת את תכונת ההצבה (שהיא גרסה חזקה של תכונת הצמצום).

תכונת ההחלפה של חוגים

אומרים שלחוג $R$ יש תכונת ההחלפה, אם הוא מקיים את תכונת ההחלפה כמודול מעל עצמו. למודול $M$ מעל $R$ יש תכונת ההחלפה הסופית אם ורק אם לחוג האנדומורפיזמים $\operatorname {End} ({}_{R}M)$ יש תכונת ההחלפה. חוג $R$ מקיים את תכונת ההחלפה אם ורק אם אפשר להרים בו אידמפוטנטים מודולו כל אידיאל שמאלי או ימני, אם ורק אם אפשר להרים אידמפוטנטים מודולו רדיקל ג'ייקובסון $\operatorname {Jac} (R)$ והחוג $R/\operatorname {Jac} (R)$ מקיים את תכונת ההחלפה .

מקורות

• A. A. Tuganbaev, Rings and modules with exchange properties, J. Math. Sci. 110(1) (2002), 2348–2421.