הלמה של גאוס (פולינומים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הלמה של גאוס היא שמן המשותף של כמה טענות שהוכיח קרל פרידריך גאוס בתחום הפולינומים, שהעיקריות בהן:

הטענות מתייחסות לפולינומים מעל תחום פריקות יחידה (ובאופן כללי יותר לפולינומים מעל כל תחום gcd), ובפרט הן נכונות עבור פולינומים במקדמים שלמים.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה ללמה הראשונה. יהי D תחום פריקות יחידה, ונניח ש- \ f(x),g(x) פולינומים בעלי מקדמים ב- D. ברור שגם מקדמי המכפלה \,f(x)\cdot g(x) הם ב-D. אם יש למקדמי המכפלה גורם משותף שאינו הפיך, אז יש להם גורם משותף ראשוני, p. מכיוון שהאידאל \ Dp ראשוני, חוג המנה \ D/Dp הוא שדה, ולכן חוג הפולינומים מעליו \ (D/Dp)[x] הוא תחום שלמות. לפי ההנחה fg=0 בחוג זה, ולכן f=0 או g=0 - מכאן שלפחות אחד הפולינומים אינו פרימיטיבי.

הוכחה נוספת: יהי p ראשוני. אם f=\textstyle \sum_{k=0}^N \displaystyle a_k x^k ו-g=\textstyle \sum_{k=0}^M \displaystyle b_k x^k, יש אינדקסים מינימליים n, m עבורם a_n, b_m לא מתחלקים ב-p. אז a_nb_m לא מתחלק ב-p, ולכל i\neq n, a_i b_{n+m-i} מתחלק ב-p ולכן המקדם של x^{n+m} ב-fg (שהוא a_n b_m + \textstyle \sum_{i=0, i \neq n}^{n+m} a_i b_{n+m-i} \displaystyle) לא מתחלק ב-p.