הלמה של גאוס (פולינומים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הלמה של גאוס היא שמן המשותף של כמה טענות שהוכיח קרל פרידריך גאוס בתחום הפולינומים, שהעיקריות בהן:

הטענות מתייחסות לפולינומים מעל תחום פריקות יחידה (ובאופן כללי יותר לפולינומים מעל כל תחום gcd), ובפרט הן נכונות עבור פולינומים במקדמים שלמים.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה ללמה הראשונה. יהי D תחום פריקות יחידה, ונניח ש- פולינומים בעלי מקדמים ב- D. ברור שגם מקדמי המכפלה הם ב-D. אם יש למקדמי המכפלה גורם משותף שאינו הפיך, אז יש להם גורם משותף ראשוני, p. מכיוון שהאידאל ראשוני, חוג המנה הוא תחום שלימות, ולכן חוג הפולינומים מעליו גם הוא תחום שלמות. לפי ההנחה fg=0 בחוג זה, ולכן f=0 או g=0 - מכאן שלפחות אחד הפולינומים אינו פרימיטיבי.

הוכחה נוספת: יהי p ראשוני. אם ו-, יש אינדקסים מינימליים n, m עבורם לא מתחלקים ב-p. אז לא מתחלק ב-p, ולכל , מתחלק ב-p ולכן המקדם של ב- (שהוא ) לא מתחלק ב-p.