הלמה של גרנוול

במתמטיקה, הלמה של גרנוול היא אי-שוויון, המשמש בין היתר להוכחת היחידות במשפט הקיום והיחידות עבור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית רגילה. הלמה קרויה על שם המתמטיקאי השוודי תומאס הוקון גרנוול (Thomas Hakon Grönwall).

ניסוח הלמה

תהי $f(x)\geq 0$ פונקציה רציפה ואי-שלילית, המקיימת עבור קבוע $A$ ועבור $x>x_{0}$ את האי-שוויון הבא: $$f(x)\leq A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt$$ אזי פונקציה זו היא בהכרח פונקציית האפס, כלומר $f(x)\equiv 0$.

הוכחה

ניתן לראות שמתקיים $A\geq 0$ כי אם לא, יתקבל ביטוי שלילי באגף ימין. כעת על ידי העברת אגף ימין ניתן לראות כי:

$f(x)-A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0$

זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור:

• $g(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt$
• $g'(x)=f(x)$ (לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי)

על ידי כפל בגורם אינטגרציה $e^{-Ax}$ תתקבל המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הבאה:

$e^{-Ax}g'(x)-A\cdot g(x)e^{-Ax}=(e^{-Ax}g(x))'\leq 0$

על ידי ביצוע אינטגרציה $\int _{x_{0}}^{x}dt$ על שני צידי האי שוויון נקבל:

$e^{-Ax}g(x)=e^{-Ax}\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0$

פונקציית האקספוננט היא אי-שלילית ($e^{h(x)}\geq 0$ לכל $h(x)$) ולכן המסקנה היא:

$\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0$

ולפי ההנחה מתקיים:

$f(x)\leq A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0$

אבל ההנחה היא גם כי $f(x)\geq 0$ ולכן בהכרח $f(x)=0$. מ.ש.ל.