המבנה העל-דק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במכניקת הקוונטים, המונח המבנה העל-דק מתייחס לאוסף אפקטים המובילים לתזוזות ופיצולים שונים ברמות האנרגיה של אטומים, מולקולות ויונים. השם, המבנה העל-דק, מתייחס ל"מבנה הדק" שהוא תוצאה של אינטרקציה בין המומנט המגנטי, \mu, לבין הספין, s, והמספר הקוונטי האזימוטלי, l. גודל התיקון במבנה העל-דק, בדרך כלל, קטן בכמה סדרי גודל ביחס לתיקוני המבנה הדק, והוא תוצאה של האינטרקציה של הגרעין (או גרעינים, במולקולות) עם השדה החשמלי או המגנטי הנוצרים בתוך האטום או המולקולה.

באטומים, המבנה העל-דק הוא תוצאה של המומנט המגנטי של הגרעין בשדה המגנטי הנוצר על ידי האלקטרון, ואנרגיית מומנט הקאודרופול החשמלי של הגרעין בגרדיאנט שדה חשמלי כתוצאה מחלוקת המטען בתוך האטום. גם במולקולות שני אפקטים אלו הם האפקטים העיקריים אך בנוסף אליהם ישנם אפקטים נוספים הנובעים מהאינטרקציה בין המומנט המגנטי וגרעיני המולקולה השונים, ובין המומנט המגנטי של הגרעינים והשדה המגנטי הנוצר על ידי סיבוב המולקולה.

אילוסטרציה של המבנה הדק והמבנה העל-דק באטום המימן.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המבנה העל-דק נצפה לראשונה בשנת 1881 על ידי אלברט אברהם מייקלסון, אולם ההסבר לתצפית ניתן רק בשנת 1924 על ידי וולפגנג פאולי, תוך שימוש מכניקת הקוונטים, על ידי הוספת מומנט מגנטי לגרעין.

ב-1935 הציעו הפיזיקאים הגרמנים הרמן שילר (Schüler)(גר') ותיאודור שמידט (Schmidt)(גר') את הקיום של מומנט קוואדרופול לגרעין כדי להסביר שגיאות במבנה העל-דק.

תאוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תיאורית המבנה העל-דק נובעת ישירות מאלקטרומגנטיות ומתאימה לאינטראקציה בין המומנטים המגנטיים של הגרעין (פרט למומנט הדיפול) לבין השדות הנוצרים באטום. תאוריה זו מתאימה לאטומים אך ניתן להשתמש בה עבור כל גרעין במולקולה בנפרד, עם תיקונים המתאימים למקרה של מולקולות.

המבנה העל-דק באטומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

דיפול מגנטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – דיפול

האיבר החשוב בהמילטוניאן המבנה העל-דק הוא לרוב איבר הדיפול המגנטי. לגרעין בעל ספין שונה מאפס, \mathbf{I}, יש מומנט דיפול מגנטי, \boldsymbol{\mu}_\text{I}, הנתון על ידי:

\boldsymbol{\mu}_\text{I} = g_\text{I}\mu_\text{N}\mathbf{I}

כאשר g_\text{I} הוא הפקטור הגירומגנטי ו \mu_\text{N} הוא המגנטון של גרעין זה.

למומנט דיפול, \boldsymbol{\mu}_\text{I}, בנוכחות שדה חשמלי, \mathbf{B}, יש השפעה על ההמילטוניאן מהצורה:[1]

\hat{H}_\text{D} = -\boldsymbol{\mu}_\text{I}\cdot\mathbf{B}.

לעומת זאת במקרה שבו לא מופעל שדה מגנטי חיצוני, \mathbf{B}, מרגיש הגרעין את השדות הקשורים למספר הקוונטי האורביטלי, l, ולספין, s, של האלקטרון:

\mathbf{B} \equiv \mathbf{B}_\text{el} = \mathbf{B}_\text{el}^l + \mathbf{B}_\text{el}^s

התנועה של אלקטרון סביב נקודה קבועה, במקרה שלנו הגרעין, גורמת למומנט תנע זוויתי. השפעתו על גרעין של אלקטרון בודד, בעל מטען -e ובמרחק \mathbf{r} ביחס לגרעין, נתון על ידי:

\mathbf{B}_\text{el}^l = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{(-e)\mathbf{v}\times(-\mathbf{r})}{r^3},

כאשר אם נכתוב את המרחק, \mathbf{r}, במונחים של מגנטון בוהר נקבל:

\mathbf{B}_\text{el}^l = -2\mu_\text{B}\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{1}{r^3}\dfrac{\mathbf{r}\times m_\text{e}\mathbf{v}}{\hbar}.

כאשר m_\text{e}\mathbf{v} זה תנע האלקטרון, p, ו \mathbf{r}\times\mathbf{p}/\hbar הוא המומנט האורביטלי ביחידות של \hbar , l, ניתן לכתוב:

\mathbf{B}_\text{el}^l = -2\mu_\text{B}\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{1}{r^3}\mathbf{l}.

עבור המקרה הכללי ביטוי זה נכתב בעזרת סכום על כל המומנטים האורביטליים, \scriptstyle{\mathbf{L}}, כאשר נסכום על כל האלקטרונים ונעזר באופרטור ההיטל, \scriptstyle{\phi^l_i}, כש \scriptstyle{\sum_i\mathbf{l}_i = \sum_i\phi^l_i\mathbf{L}}. עבור מצבים עם היטל מוגדר היטב של מומנט התנע הזוויתי, \mathbf{L}_z, אפשר לכתוב,\scriptstyle{\phi^l_i = \hat{l}_{z_i}/L_z} , ומקבלים:

\mathbf{B}_\text{el}^l = -2\mu_\text{B}\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{1}{L_z}\sum_i\dfrac{\hat{l}_{zi}}{r_i^3}\mathbf{L}.

המומנט המגנטי של ספין האלקטרון הוא תכונה שונה באופן מהותי מהמומנט האורביטלי בכך שהוא אינטרינזי, כלומר אינו תלוי בתנועת האלקטרון. כבכל מומנט מגנטי הקשור לחלקיק טעון אנו מקבלים מומנט דיפול מגנטי המשמש כמקור של שדה מגנטי. לאלקטרון בעל ספין, \mathbf{s}, יש מומנט מגנטי, \mu_\mathbf{s}, הנתון על ידי:

\boldsymbol{\mu}_\text{s} = -g_s\mu_\text{B}\mathbf{s},

כאשר g_\mathbf{s} הוא הפקטור הג'ירומגנטי של ספין האלקטרון והסימן השלילי נובע מכך שמטען האלקטרון שלילי (כלומר עבור חלקיק עם מטען חיובי, מסה זהה והעובר באותם דרכים, היינו מקבלים זרמים זהים לחלוטין אך בכיוון ההפוך).

השדה המגנטי של מומנט דיפול,\mu_\mathbf{s} , נתון על ידי:[2]

\mathbf{B}_\text{el}^s = \dfrac{\mu_0}{4\pi r^3}\left(3(\boldsymbol{\mu}_\text{s}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\boldsymbol{\mu}_\text{s}\right) + \dfrac{2\mu_0}{3}\boldsymbol{\mu}_\text{s}\delta^3(\mathbf{r}).

ולכן המומנט הדיפול המגנטי הכולל שנוסף להמילטוניאן המבנה העל-דק הוא:



\begin{align}
\hat{H}_D &= 2g_\text{I}\mu_\text{N}\mu_\text{B}\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{1}{L_z}\sum_i\dfrac{\hat{l}_{zi}}{r_i^3}\mathbf{I}\cdot\mathbf{L}\\
&+ g_\text{I}\mu_\text{N}g_\text{s}\mu_\text{B}\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{1}{S_z}\sum_i\dfrac{\hat{s}_{zi}}{r_i^3}\left\{3(\mathbf{I}\cdot\hat{\mathbf{r}})(\mathbf{S}\cdot\hat{\mathbf{r}}) - \mathbf{I}\cdot\mathbf{S}\right\}\\
&+ \frac{2}{3}g_\text{I}\mu_\text{N}g_\text{s}\mu_\text{B}\mu_0\dfrac{1}{S_z}\sum_i\hat{s}_{zi}\delta^3(\mathbf{r}_i)\mathbf{I}\cdot\mathbf{S}.
\end{align}

האיבר הראשון בביטוי מייצג את התרומה לאנרגיה על ידי מומנט התנע הזוויתי של האלקטרון. האיבר השני מייצג את האנרגיה מהאינטרקציה עם מומנט הדיפול המגנטי שנוצר על ידי מומנט ספין האלקטרון. האיבר השלישי, הידוע גם כ"איבר המגע של פרמי", ומתקשר עם האינטרקציה הישירה בין דיפול הגרעין לבין דיפול הספין של הגרעין והוא שונה מאפס רק עבור מצבים עם צפיפות ספין אלקטרון סופית במיקום הגרעין (אלא עם אלקטרונים לא מצומדים במצב s). כמו כן ישנה טענה שניתן לקבל ביטוי שונה אם לוקחים בחשבון את הפילוג המדויק של המומנט המגנטי בגרעין.[3]

עבור מצבים עם l\neq0 ניתן להביע את חלק זה כך:

 \hat{H}_D = 2g_I\mu_\text{B}\mu_\text{N}\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\mathbf{I}\cdot\mathbf{N}}{r^3},

כאשר \scriptstyle{\mathbf{N} = \mathbf{l}-(g_s/2)\mathbf{s}+3(\mathbf{s}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}}.[1]

תחת ההנחה שהמבנה העל-דק קטן מאוד יחסית למבנה הדק (לעתים נקרא צימוד-IJ באנלוגיה לצימוד-LS) ובנוסף I ו J מספרים קוונטיים טובים ואיברי המטריצה \scriptstyle{\hat{H}_\text{D}} ניתנים לקירוב כלכסון ב I ו J אזי ניתן (נכון באופן קללים עבור יסודות קלים) להקרין את N על J (כאשר \mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S} הוא מומנט התנע הזוויתי הכולל) וידוע כי:[4]

\hat{H}_\text{D} = 2g_I\mu_\text{B}\mu_\text{N}\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\mathbf{N}\cdot\mathbf{J}}{\mathbf{J}\cdot\mathbf{J}}\dfrac{\mathbf{I}\cdot\mathbf{J}}{r^3}.

כאשר את ביטוי זה ניתן לכתוב גם בצורה:

\hat{H}_\text{D} = \hat{A}\mathbf{I}\cdot\mathbf{J},

כאשר \scriptstyle{\langle\hat{A}\rangle} נקבע על ידי הניסוי.

בגלל ש

\mathbf{I}\cdot\mathbf{J}=\frac{1}{2}(\mathbf{F}\cdot\mathbf{F}-\mathbf{I}\cdot\mathbf{I}-\mathbf{J}\cdot\mathbf{J})

כאשר \mathbf{F}=\mathbf{I}+\mathbf{J} הוא המומנט הזוויתי הכולל, נקבל אנרגיה:

\Delta E_\text{D} = \frac{1}{2}\langle\hat{A}\rangle[F(F+1)-I(I+1)-J(J+1)].

במקרה זה אינטרקציות המבנה העל-דק עומדות בדרישות חוק הרווחים של לנדה.

קוואדרופול חשמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]


לגרעינים בעלי ספין \scriptstyle{I\ge 1} יש מומנט קוורדרופול חשמלי.[5] במקרה הכללי ניתן ליצגו בעזרת טנזור ממעלה שנייה,\scriptstyle{\underline{\underline{Q}}} , שרכיביו נתונים על ידי:[2]

Q_{ij} = \dfrac{1}{e}\int\left(3x_i^\prime x_j^\prime - (r^\prime)^2\delta_{ij}\right)\rho(\mathbf{r}^\prime)d^3r^\prime,

כאשר i ו j הם אינדקסי הטנזור ונעים בין 1 ל 3, x_i ו x_j הם המשתנים המרחביים, x, y ו z תלויים בערכי i ו j בהתאמה, \delta_{ij} היא הדלתא של קרונקר ו \rho(\mathbf{r}) היא צפיפות המטען. כטנזור תלת-ממדי ממעלה שנייה, יש למומנט הקוואדרופול 3^2=9 רכיבים. מהגדרת הרכיבים ברור כי הטנזור הוא מטריצה סימטרית ( Q_{ij}=Q_{ji} ) חסר עקבה ( \sum\nolimits _{i}Q_{ii}=0 ), המותירים רק חמישה רכיבים במודול הפשוט. נביע באמצעות הנוטציה של המודול הפשוט של הטנזור הספרי ונקבל:[2]

T^2_m(Q) = \sqrt{\dfrac{4\pi}{5}} \int \rho(\mathbf{r}^{\prime})(r^\prime)^2 Y^2_m(\theta^{\prime},\phi^{\prime})d^3r^\prime.

האנרגיה הקשורה למומנט הקאוודרופול בשדה חשמלי אינה תלויה בעוצמת השדה אלא בגודל השינוי (הגרדיאנט) המסומן ב\scriptstyle{\underline{\underline{q}}}, עוד טנזור שתי רמות נתון על ידי רוטור השדה החשמלי:

\underline{\underline{q}} = \nabla\otimes\mathbf{E},

כאשר רכיביו נתונים על ידי:

q_{ij} = \dfrac{\partial^2V}{\partial x_i\partial x_j}.

שוב ברור כי זהו טנזור סימטרי, בגלל שמקור השדה האלקטרומגנטי בגרעין הוא פיזור המטען מחוץ לגרעין בלבד, ניתן להביעו בעזרת חמישה רכיבים, \scriptstyle{T^2(q)}, בעזרת:[6]

T^2_0(q) = \dfrac{\sqrt{6}}{2}q_{zz}
T^2_{+1}(q) = -q_{xz} - iq_{yz}
T^2_{+2}(q) = \frac{1}{2}(q_{xx} - q_{yy}) + iq_{xy},

ובנוסף:

T^2_{-m}(q) = (-1)^mT^2_{+m}(q)^*.

לכן איבר הקוואדרופול בהמילטוניאן ניתן על ידי:

\hat{H}_Q = -eT^2(Q)\cdot T^2(q) = -e\sum_m (-1)^mT^2_m(Q)T^2_{-m}(q).

גרעין טיפוסי מקיים בקירוב טוב מאוד סימטריה מעגלית לכן כל האיברים מחוץ לאלכסון שואפים לאפס, ולכן, לרוב, מומנט הקאוודרופול החשמלי של הגרעין מיוצג על ידי Qzz. ‏[5]

המבנה העל-דק במולקולות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מדידות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישנן מספר דרכים למדוד את השפעות המבנה העל-דק, ביניהן בעזרת הספקטרום של אטומים ומולקולות ובתוך הרזוננס הפרמגנטי של האלקטרון ברדיקלים חופשיים וביונים של מתכות.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נעזרים בתופעה זו בתחומים רבים בפיזיקה, בהם אסטרופיזיקה, טכנולוגיה גרעינית, הגדרת היחידות הסטנדרטיות (SI) שנייה ומטר, ניסויים מדויקים באלקטרודינמיקה קוונטית ובמחשוב קוונטי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ 1.0 1.1 Woodgate, Gordon K. (1999). Elementary Atomic Structure. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851156-4. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics. Wiley. ISBN 978-0-471-30932-1. 
  3. ^ C. E. Soliverez (1980) J. Phys. C: Solid State Phys. 13 L1017. [1] doi:10.1088/0022-3719/13/34/002
  4. ^ Woodgate, Gordon K. (1983). Elementary Atomic Structure. ISBN 978-0-19-851156-4. 
  5. ^ 5.0 5.1 Enge, Harald A. (1966). Introduction to Nuclear Physics. Addison Wesley. ISBN 978-0-201-01870-7. 
  6. ^ Y. Millot (2008-02-19). Electric field gradient tensor around quadrupolar nuclei.