העתקה גאומטרית

במתמטיקה, העתקה גאומטרית או טרנספורמציה גאומטרית היא כל פונקציה חד-חד ערכית ועל של קבוצה לעצמה (או לקבוצה אחרת כזו) עם מבנה גאומטרי בולט כלשהו. ליתר דיוק, מדובר בפונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצה של נקודות - לרוב שתיהן $\mathbb {R} ^{2}$ או שתיהן $\mathbb {R} ^{3}$ כך שהפונקציה היא חד חד ערכית, כך קיימת לה פונקציה הפיכה. ניתן לגשת לחקר הגאומטריה באמצעות חקר ההעתקות הללו.

העתקות של המרחב האוקלידי

ניתן לסווג העתקות גאומטריות לפי הממד של הקבוצות שעליהן הן פועלות (ובכך להבחין, למשל, בין העתקות מישוריות לבין העתקות מרחביות). העתקות אוקלידיות בכל ממד אפשר לסווג לפי המאפיינים שהן משמרות, מן הפרט אל הכלל:

• העתקים (כלומר הזזות) משמרים מרחקים וזוויות
• איזומטריות שומרות על מרחקים ולכן גם על זוויות
• דמיון שומר על זוויות ויחסים בין מרחקים (למשל: שינוי גודל)
• העתקות אפיניות משמרות מקביליות (למשל: קנה מידה, גזירה)
• העתקות פרויקטיביות משמרות את הקוליניאריות (Collinearity)

כל אחד מהסיווגים לעיל מכיל את קודמו.

את כל ההעתקות הליניאריות אפשר לבטא באמצעות פעולת חבורה בסימונים של אלגברה ליניארית. ההעתקות הליניאריות ההפיכות הן איברים של החבורה הליניארית הכללית, שאותם אפשר לייצג באמצעות מטריצות הפיכות. מטריצה A מגדירה את ההעתקה השולחת וקטור שורה v, באמצעות כפל מטריצות, לווקטור השורה vA. זוהי אכן פעולת חבורה, משום שהרכבת הפעולות של A ו-B מיוצגת על ידי המכפלה AB.

הכללות

• העתקת מביוס של המישור, באמצעות קואורדינטות מרוכבות, משמרות את מכלול כל הקווים והמעגלים, אך עשויות להחליף בין קווים ומעגלים. ראו גם אינוורסיה במעגל.

• 
  התמונה המקורית (מבוססת על מפת צרפת)
• 
  איזומטריה
• 
  דמיון
• 
  העתקה אפינית
• 
  העתקה פרויקטיבית
• 
  היפוך

• העתקות קונפורמיות שומרות על זוויות. (העתקה אפיני קונפורמית היא איזומטריה).
• העתקות משמרות הן אלו ששומרות על שטחים במקרה המישורי או נפחים במקרה התלת־ממדי. (גם העתקה אפינית משמרת היא איזומטריה).
• הומיאומורפיזם (העתקות דו-רציפות) שומרת על שכנות הנקודות, אבל אינן מכבדות את המבנה הגאומטרי.
• דיפאומורפיזם (העתקות bidifferentiable) הם העתקות אפיניות מסדר ראשון. הן מכילות את הקודמים כמקרים פרטיים וניתנים לתיאור מורחב נוסף.

• 
  העתקה קונפורמית
• 
  העתקה שוויונית
• 
  הומיאומורפיזם
• 
  דיפאומורפיזם

ראו גם

• שיקוף
• טופולוגיה
• מטריציית מעבר

לקריאה נוספת

• Adler, Irving (2012) [1966], A New Look at Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, Z. P.; Golding, E. W. (1967) . Geometry Through Transformations (3 vols.): Geometry of Distortion, Geometry of Congruence, and Groups and Coordinates. New York: Herder and Herder.
• David Gans – Transformations and geometries.
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.
• John McCleary – Geometry from a Differentiable Viewpoint.
• Modenov, P. S.; Parkhomenko, A. S. (1965) . Geometric Transformations (2 vols.): Euclidean and Affine Transformations, and Projective Transformations. New York: Academic Press.
• A. N. Pressley – Elementary Differential Geometry.
• Yaglom, I. M. (1962, 1968, 1973, 2009) . Geometric Transformations (4 vols.). Random House (I, II & III), MAA (I, II, III & IV).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא העתקה גאומטרית בוויקישיתוף