לדלג לתוכן

הפוליום של דקארט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בגיאומטריה, הפוליום של דקארט (בלָטִינִית ׳folium׳, עלה; על שם רנה דקארט) היא עקומה אלגברית המוגדרת על ידי המשוואה הסתומה

הפוליום של דקארט (ירוק) עם אסימפטוטה (כחול) כאשר

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

העקומה הוצעה ונחקרה לראשונה על ידי רנה דקארט בשנת 1638.[1] הסיבה לפרסומה נעוצה במקרה שהתרחש במהלך הפיתוח של החשבון האינפיניטסימלי. דקארט אתגר את פייר דה פרמה למצוא את קו המשיק לעקומה בנקודה שרירותית, שכן פרמה גילה לפני כן שיטה למציאת קווים משיקים. פרמה פתר את הבעיה בקלות, מה שדקארט עצמו לא הצליח לעשות.[2] מאז המצאת החשבון האינפיניטסימלי, ניתן למצוא את השיפוע של קו המשיק בקלות באמצעות הצגה סתומה.[3]

גרף של העקומה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפוליום של דקארט בקואורדינטות קוטביות

ניתן לבטא את הפוליום של דקארט בקואורדינטות קוטביות באופן הבאשמשורטט בצד ימין. זה שווה ערך ל -[4]

טכניקה נוספת היא כתיבה ופתירה עבור ו במונחים של . זה מניב את המשוואות הפרמטריות הרציונליות:[5]

.

אנו יכולים לראות שהפרמטר קשור למיקום על העקומה באופן הבא:

  • מתאים ל ,  : ה"כנף" הימנית התחתונה.
  • מתאים ל ,  : ה"כנף" השמאלית העליונה.
  • מתאים ל ,  : הלולאה של העקומה.

דרך נוספת לשרטט את הפונקציה יכולה לנבוע מסימטריה מעל . ניתן לראות את הסימטריה ישירות מהמשוואה שלה (ניתן להחליף בין x ו-y). על ידי החלת סיבוב של 45° CW למשל, אפשר לשרטט את הפונקציה באופן סימטרי על ציר הסיבוב x.

פעולה זו מקבילה להחלפה:ותניבשרטוט במערכת הקרטזית של נותן את הפוליום מסובב ב-45° ולכן הוא סימטרי על ציר ה - .

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוא יוצר לולאה ברביע הראשון עם נקודה כפולה במקור ובאסימפטוטהזה סימטרי גם לגבי הקו . ככזה, השניים מצטלבים במקור ובנקודה .

ביצוע גזירה באופן סתום נותן את הנוסחה עבור השיפוע של קו המשיק לעקומה זו:[3]

באמצעות כל אחד מהייצוגים הקוטביים שלמעלה, שטח הפנים של הלולאה הוא . יתר על כן, השטח שבין "כנפי" העקומה לאסימפטוטה המלוכסנת שלה הוא גם כן .[1]

הקשר לטריסקטריקס של מקלורין[עריכת קוד מקור | עריכה]

הטריסקוטריקס של מקלורין

ה-folium של דקארט קשור ל-trisectrix של Maclaurin על ידי טרנספורמציה אפינית. כדי לראות זאת, יש להתחיל עם המשוואהולשנות משתנים כדי למצוא את המשוואה במערכת קואורדינטות המסובבת 45 מעלות. זה מסתכם להגדרהבתוך המישור המשוואה היאאם נמתח את העקומה בכיוון ה - לפי גורם של נקבלשהיא משוואת הטריסקטריקס של מקלורין.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • J. Dennis Lawrence: A catalog of special plane curves, 1972, Dover Publications.מסת"ב 0-486-60288-5ISBN 0-486-60288-5, עמ'. 106–108
  • George F. Simmons : Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics, ניו יורק 1992, McGraw-Hill, xiv,355.מסת"ב 0-07-057566-5ISBN 0-07-057566-5 ; מהדורה חדשה 2007, האגודה המתמטית של אמריקה ( MAA )

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ 1 2 "Folium of Descartes". Encyclopedia of Mathematics. 5 ביוני 2020. נבדק ב-30 בינואר 2021. {{cite web}}: (עזרה)
  2. ^ Simmons, p. 101
  3. ^ 1 2 Stewart, James (2012). "Section 3.5: Implicit Differentiation". Calculus: Early Transcendentals. United States of America: Cengage Learning. pp. 209–11. ISBN 978-0-538-49790-9.
  4. ^ Stewart, James (2012). "Chapter 10: Parametric Equations and Polar Coordinates". Calculus: Early Transcendentals (7th ed.). Cengage Learning. p. 687. ISBN 978-0-538-49790-9.
  5. ^ "DiffGeom3: Parametrized curves and algebraic curves". N J Wildberger, University of New South Wales. ארכיון מ-2021-12-21. נבדק ב-5 בספטמבר 2013. {{cite web}}: (עזרה)