הפוליום של דקארט

בגיאומטריה, הפוליום של דקארט (בלָטִינִית ׳folium׳, עלה; על שם רנה דקארט) היא עקומה אלגברית המוגדרת על ידי המשוואה הסתומה

$$x^{3}+y^{3}-3axy=0.$$

הפוליום של דקארט (ירוק) עם אסימפטוטה (כחול) כאשר $a=1$

היסטוריה

העקומה הוצעה ונחקרה לראשונה על ידי רנה דקארט בשנת 1638. הסיבה לפרסומה נעוצה במקרה שהתרחש במהלך הפיתוח של החשבון האינפיניטסימלי. דקארט אתגר את פייר דה פרמה למצוא את קו המשיק לעקומה בנקודה שרירותית, שכן פרמה גילה לפני כן שיטה למציאת קווים משיקים. פרמה פתר את הבעיה בקלות, מה שדקארט עצמו לא הצליח לעשות. מאז המצאת החשבון האינפיניטסימלי, ניתן למצוא את השיפוע של קו המשיק בקלות באמצעות הצגה סתומה.

גרף של העקומה

הפוליום של דקארט בקואורדינטות קוטביות

ניתן לבטא את הפוליום של דקארט בקואורדינטות קוטביות באופן הבא

$$r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }},$$

שמשורטט בצד ימין. זה שווה ערך ל -

$r={\frac {3a\sec \theta \tan \theta }{1+\tan ^{3}\theta }}.$

טכניקה נוספת היא כתיבה $y=px$ ופתירה עבור $x$ ו $y$ במונחים של $p$. זה מניב את המשוואות הפרמטריות הרציונליות:

$x={{3ap} \over {1+p^{3}}},\,y={{3ap^{2}} \over {1+p^{3}}}$.

אנו יכולים לראות שהפרמטר קשור למיקום על העקומה באופן הבא:

• $p<-1$ מתאים ל $x>0$, $y<0$ : ה"כנף" הימנית התחתונה.
• $-1<p<0$ מתאים ל $x<0$, $y>0$ : ה"כנף" השמאלית העליונה.
• $p>0$ מתאים ל $x>0$, $y>0$ : הלולאה של העקומה.

דרך נוספת לשרטט את הפונקציה יכולה לנבוע מסימטריה מעל $y=x$. ניתן לראות את הסימטריה ישירות מהמשוואה שלה (ניתן להחליף בין x ו-y). על ידי החלת סיבוב של 45° CW למשל, אפשר לשרטט את הפונקציה באופן סימטרי על ציר הסיבוב x.

פעולה זו מקבילה להחלפה:

$$x={{u+v} \over {\sqrt {2}}},\,y={{u-v} \over {\sqrt {2}}}$$

ותניב

$$v=\pm u{\sqrt {\frac {3a{\sqrt {2}}-2u}{6u+3a{\sqrt {2}}}}}$$

שרטוט במערכת הקרטזית של $(u,v)$ נותן את הפוליום מסובב ב-45° ולכן הוא סימטרי על ציר ה - $u$.

תכונות

הוא יוצר לולאה ברביע הראשון עם נקודה כפולה במקור ובאסימפטוטה

$$x+y+a=0\,.$$

זה סימטרי גם לגבי הקו $y=x$. ככזה, השניים מצטלבים במקור ובנקודה $(3a/2,3a/2)$.

ביצוע גזירה באופן סתום נותן את הנוסחה עבור השיפוע של קו המשיק לעקומה זו:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {ay-x^{2}}{y^{2}-ax}}$

באמצעות כל אחד מהייצוגים הקוטביים שלמעלה, שטח הפנים של הלולאה הוא $3a^{2}/2$. יתר על כן, השטח שבין "כנפי" העקומה לאסימפטוטה המלוכסנת שלה הוא גם כן $3a^{2}/2$.

הקשר לטריסקטריקס של מקלורין

הטריסקוטריקס של מקלורין

ה-folium של דקארט קשור ל-trisectrix של Maclaurin על ידי טרנספורמציה אפינית. כדי לראות זאת, יש להתחיל עם המשוואה

$$x^{3}+y^{3}=3axy\,,$$

ולשנות משתנים כדי למצוא את המשוואה במערכת קואורדינטות המסובבת 45 מעלות. זה מסתכם להגדרה

$$x={{X+Y} \over {\sqrt {2}}},y={{X-Y} \over {\sqrt {2}}}.$$

בתוך המישור $X,Y$ המשוואה היא

$$2X(X^{2}+3Y^{2})=3{\sqrt {2}}a(X^{2}-Y^{2}).$$

אם נמתח את העקומה בכיוון ה - $Y$ לפי גורם של ${\sqrt {3}}$ נקבל

$$2X(X^{2}+Y^{2})=a{\sqrt {2}}(3X^{2}-Y^{2}),$$

שהיא משוואת הטריסקטריקס של מקלורין.

לקריאה נוספת

• J. Dennis Lawrence: A catalog of special plane curves, 1972, Dover Publications.מסת"ב 0-486-60288-5ISBN 0-486-60288-5, עמ'. 106–108
• George F. Simmons : Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics, ניו יורק 1992, McGraw-Hill, xiv,355.מסת"ב 0-07-057566-5ISBN 0-07-057566-5 ; מהדורה חדשה 2007, האגודה המתמטית של אמריקה ( MAA )

קישורים חיצוניים

• Weisstein, Eric W. "Folium of Descartes". MathWorld.
• "Folium of Descartes" at MacTutor's Famous Curves Index
• "Cartesian Folium" at MathCurve
• הפוליום של דקארט, באתר MathWorld (באנגלית)