הקומפקטיפיקציה החד נקודתית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

קומפקטיפיקציה חד נקודתית היא דרך לבנות מרחב טופולוגי קומפקטי ממרחב טופולוגי כלשהו על ידי הוספת נקודה בודדת למרחב.

הבנייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהא מרחב טופולוגי. ניקח איזושהי נקודה שרירותית ונגדיר . נגדיר טופולוגיה על - קבוצה תחשב פתוחה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

  1. הייתה במקור קבוצה פתוחה ב-, כלומר .
  2. וגם היא קבוצה קומפקטית.

הוכחת נכונות הבנייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נראה ש- הוא מרחב קומפקטי. יהא כיסוי פתוח של . קיימת כך ש-, ומשום ש- אזי היא קבוצה קומפקטית. אבל אז ל- יש תת-כיסוי סופי , לכן הוא כיסוי סופי של ונקבל ש- קומפקטית כנדרש.

תכונה נוספת של [עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – מרחב קומפקטי מקומית, מרחב האוסדורף

אם נניח ש- הוא מרחב קומפקטי מקומית האוסדורף, אזי גם הוא מרחב האוסדורף. ואכן, ניקח שתי נקודות שונות . אם אזי משום ש- הוא מרחב האוסדורף, קיימות שתי קבוצות פתוחות ב- וזרות ו- כך ש- ו- ונסיים כי כל קבוצה פתוחה ב- היא קבוצה פתוחה ב-. אחרת, או ונניח בלי הגבלת הכלליות כי . משום ש- הוא מרחב קומפקטי מקומית, אזי קיימת (ובפרט, ) כך ש- וש- היא קבוצה קומפקטית. אבל אז הקבוצה היא קבוצה פתוחה ב-. בנוסף, נשים לב כי ובכך מצאנו זוג קבוצות פתוחות ב- וזרות כך ש- ו- ולכן נקבל ש- הוא מרחב האוסדורף כנדרש.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]