הרווח בין ראשוניים עוקבים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הרווח בין ראשוניים עוקבים הוא ההפרש בין זוג מספרים ראשוניים עוקבים, כלומר כאשר היא סדרת הראשוניים. הבנת ההתנהגות של הרווח הזה, על אף שאינה סדירה, מספקת הבנה עדינה של סדרת המספרים הראשוניים.

הרווחים הראשונים הם 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ...

ממשפט המספרים הראשוניים נובע כי .

בשנת 1930 הראה גוידו הוהייסל (Guido Hoheisel) כי קיים מספר θ < 1 שמקיים , כאשר π היא פונקציית המספרים הראשוניים. זהו שיפור למשפט המספרים הראשוניים (השקול לטענה זו עבור ); הטענה חזקה יותר ככל ש-θ קטן יותר. מן הקירוב הזה נובע ש- עבור n גדול מספיק. הוהסיאל הראה שאפשר לבחור θ=1-1/33000, וערך זה שופר ל-1-1/250 על ידי האנס היילברון (Hans Heilbronn), ואחר-כך ל- θ = 3/4 + ε עבור כל ε > 0, על ידי ניקולאי צ'ודקוב (Nikolai Chudakov). התקדמות משמעותית בהבנת הרווחים בין הראשוניים הושגה על ידי אלברט אינגהם (Albert Ingham), שהראה שאם עבור קבוע c מסוים (בסימון אסימפטוטי וכאשר ζ היא פונקציית זטא של רימן), אז עבור כל θ > (1 + 4c)/(2 + 4c). מכיוון שהקירוב לפונקציית זטא נכון לכל c > 1/6, אפשר להסיק שהטענה על π נכונה לכל θ גדול מ-5/8.

בשנת 2005 הוכח כי- ומאוחר יותר שיפרו את הטענה לערך .

לפי השערת הראשוניים התאומים, הערך אמור להתקבל אינסוף פעמים. בשנת 2013 הוכיח זהאנג כי אינסוף פעמים, ותוצאה זו שופרה בהמשך עד לטענה כי אינסוף פעמים.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]