השערת גודמן

ערך מחפש מקורות

רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

באנליזה מרוכבת, השערת גודמן היא השערה בדבר המקדמים של פונקציות מולטי-ולנטיות, המכלילה את משפט דה ברנז'. את ההשערה ניסח אדולף וינקלר גודמן, מתמטיקאי שעסק רבות בתורת הפונקציות המולטי-ולנטיות.

ניסוח

תהי $f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}z^{n}}$ היא פונקציה $p$-ולנטית. ההשערה טוענת כי המקדמים מקיימים:

$|b_{n}|\leq \sum _{k=1}^{p}{\frac {2k(n+p)!}{(p-k)!(p+k)!(n-p-1)!(n^{2}-k^{2})}}|b_{k}|$

תוצאות חלקיות

גודמן ומתמטיקאים רבים הגיעו לתוצאות חלקיות בדבר ההשערה. היא הוכחה למספר משפחות פונקציות ספציפיות, ובמקביל הוכחו חסמים חלשים יותר מהטענה עצמה.

משפט: כאשר $p=2,3$ השערת גודמן נכונה עבור פונקציות מהצורה $P\circ \phi$ כאשר $P$ הוא פולינום ו-$\phi$ היא אוניוולנטית.

לקריאה נוספת

• A. W. Goodman, ON SOME DETERMINANTS RELATED TO p-VALENT FUNCTIONS, 1948
• Abdallah Lyzzaik and David Styer, Goodman's Conjecture and the Coefficients of Univalent Functions, Proceedings of the American Mathematical Society, 1978