השערת לז'נדר

בעיות פתוחות במתמטיקה: האם יש מספר ראשוני בין כל שני מספרים ריבועיים? (בעיות פתוחות נוספות במתמטיקה)

בתורת המספרים, השערת לז'נדר קובעת שיש מספר ראשוני בין כל שני מספרים ריבועיים. ההשערה הוצעה לראשונה על ידי אדריאן-מארי לז'נדר וקרויה על שמו בסוף המאה ה-18 והיא לא הוכחה עד היום. היא נחשבת לבעיה מהותית וחשובה בתורת המספרים, ומתמטיקאים רבים ניסו להוכיח או להפריך אותה במהלך השנים. למרות מאמצים רבים, ההשערה נותרה בלתי פתורה והיא עדיין תחום מחקר פעיל.

תוצאות חלקיות

השערת לז'נדר קרובה לטענה שיש תמיד ראשוני בתחום $[x,\,x+x^{1/2}]$. ביקר, המרמן ופינץ הוכיחו שאם x גדול מספיק, אז קיים מספר ראשוני בתחום $[x,\,x+O(x^{21/40})]$. בנוסף לכך, הוכח שקיימים אינסוף מספרים $n\in \mathbb {N}$, כך ש:

${\frac {1}{2}}\left({\frac {(n+1)^{2}}{2\log(n+1)}}-{\frac {n^{2}}{2\log(n)}}\right)-{\frac {\log(n)^{2}}{\log(\log(n))}}\leq \pi \left((n+1)^{2}\right)-\pi \left(n^{2}\right)$

כאשר $\pi$ היא פונקציית המספרים הראשוניים.

השלכות

אם ההשערה תוכח כנכונה, יהיו לכך השלכות משמעותיות על הבנת התפלגות המספרים הראשוניים, שהם מהאובייקטים הבסיסיים והמסתוריים ביותר במתמטיקה. מספרים ראשוניים נחקרו במשך מאות שנים ויש להם יישומים חשובים בתחומים שונים של מתמטיקה ומדעי המחשב. הוכחה להשערת לז'נדר תספק תובנות חדשות לגבי המבנה של מספרים ראשוניים ויכולה להוביל לטכניקות חדשות למציאתם ולניתוחם. בנוסף, להוכחה של ההשערה עשויות להיות השלכות אחרות על חקר משטחים מעוקלים שליליים והגיאומטריה של צורות מודולריות.

מצד שני, אם ההשערה תופרך, זו גם תהיה תוצאה חשובה, שכן המשמעות היא שהבנתנו את התפלגות המספרים הראשוניים אינה שלמה ושישנם גורמים נוספים שמשפיעים על התפלגותם. זה יכול להוביל לפיתוח של טכניקות חדשות להבנת התפלגות המספרים הראשוניים ויכול להיות בעל השלכות גם על תחומים אחרים במתמטיקה.

ראו גם

• קבוע מילס - לפי משפט אינגהם (המצוטט בערך), ממקום מסוים ואילך יש ראשוני בין $n^{3}$ ל-$(n+1)^{3}$.

קישורים חיצוניים

• השערת לז'נדר, באתר MathWorld (באנגלית)