השערת קתה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

השערת קֶתֶה היא השערה מפורסמת בתורת החוגים העוסקת באידיאלים ניליים. את ההשערה העלה המתמטיקאי האוסטרי גוטפריד קתה (Gottfried Köthe‏; 1989-1905) ב-1930; אף על פי שהיא פתורה בכמה מקרים חשובים, ההשערה עדיין פתוחה באופן כללי.

השערת קתה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונות של חוג R ושל חוג הפולינומים מעליו (ראו הסבר בגוף הטקסט).

השערת קתה שואלת האם בכל חוג (אסוציאטיבי):

  • האידיאל הדו-צדדי הנוצר על ידי אידיאל שמאלי נילי, הוא בעצמו נילי.

השערה זו שקולה לכל אחת מההשערות הבאות:

  • הסכום של שני אידיאלים שמאליים ניליים הוא נילי.
  • אם בחוג אין אידיאל נילי (דו-צדדי), אז אין בו אידיאל נילי חד-צדדי.
  • לכל חוג R מתקיים , כאשר הוא סכום האידיאלים הניליים (=הרדיקל הנילי העליון) ו- הוא סכום האידיאלים השמאליים הניליים (=רדיקל קתה).
  • לכל חוג נילי, גם חוג המטריצות נילי.
  • לכל חוג נילי R, חוג הפולינומים קוואזי-הפיך (כלומר שווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו; ידוע שחוג הפולינומים של חוג נילי שווה לרדיקל בראון-מק'קוי של עצמו).
  • אם אז .
  • אם R חוג נילי אז איננו פרימיטיבי.

השקילות לניסוח האחרון נובעת ממשפט של Smoktunowicz, לפיו אידיאלים פרימיטיביים בחוגי פולינומים מעל חוגים ניליים הם הומוגניים. עם זאת, יצוין כי קיים חוג R השווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו, אך חוג הפולינומים מעליו פרימיטיבי. בדיאגרמה משמאל, השערת קתה (בגרסה "אם R נילי אז חוג הפולינומים מעליו נילי"), עם תוצאות קרובות. הרדיקלים המופיעים בדיאגרמה הם הרדיקל של ג'ייקובסון, רדיקל Behrnes השווה לחיתוך הגרעינים של הומומורפיזמים לחוגים עם אידמפוטנט, ורדיקל בראון-מקוי. החץ בירוק: השערת קתה. החצים המרוסקים מתארים גרירות טריוויאליות. החצים בכחול, משפטים (מלמעלה למטה: תוצאות של עמיצור, של Beidar-Fong-Puczylowsi 2001 ושל A.Smoktunowicz 1999). החצים באדום: גרירות שאינן נכונות (הבניה של חוג נילי שחוג הפולינומים מעליו אינו נילי היא של A.Smoktunowicz 2000).

הגרסה הלא-אסוציאטיבית של השערת קתה אינה נכונה: באלגברה הלא-אסוציאטיבית הנוצרת על ידי שני איברים x,y תחת היחסים: xy=y,yx=x,x^2=y^2=0, האיברים x ו- y יוצרים אידיאלים שמאליים ניליים, אך סכומם אינו נילי.

מקרים שבהם ההשערה מתקיימת[עריכת קוד מקור | עריכה]

השערת קתה מתקיימת בחוג R אם לכל אידיאל נילי שמאלי L, האידיאל הדו-צדדי L+LR הוא נילי. השערת קתה מתקיימת בחוגים מהמהחלקות הבאות:

  • בחוגים נתריים (לפי משפט לויצקי: בחוג נתרי, כל אידיאל חד-צדדי נילי הוא נילפוטנטי).
  • בכל חוג עם זהויות [1] (בחוג עם זהויות הנוצר סופית מעל חוג קומוטטיבי נתרי, אפילו , משפט Razmyslov-Kemer-Braun).
  • בחוגים שבהם רדיקל ג'ייקובסון נילי (משום שכל אידיאל שמאלי נילי מוכל ברדיקל ג'ייקובסון). תכונה זו מתקיימת במקרים הבאים (שאת כולם הוכיח עמיצור):
    • באלגברה אלגברית מעל שדה;
    • באלגברה R שממדה מעל F קטן ממש מהעוצמה של F;
    • בחוג אם R היא אלגברה מעל שדה שאינו בן-מניה (בהקשר זה ראוי לציין שמעל כל שדה בן-בניה, יש אלגברה נילית R כך ש- אינו נילי; Smoktunowitcz, 2000).
  • באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית (משום שרדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי מקומית, Beidar and Fong, 1998).

לפי משפט של עמיצור, רדיקל ג'ייקובסון של כל חוג הוא מהצורה כאשר I אידיאל נילי. מכאן שאם R הוא חוג שאין בו אידיאלים ניליים, אז .

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • On some results related to Koethe's conjecture, A. Smoktunowicz, Serdica Math J 27 (2000), 159--170.
  • The Concise Handbook of Algebra, C.18.
  • A. Smoktunoicz, Primitive Ideals in Polynomial Rings over Nil Rings. Algebras and Representation Theory, March 2005, Volume 8, Issue 1, pp 69-73

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ McConnel and Robson, 13.2.6