התבנית היסודית השנייה

בגאומטריה דיפרנציאלית, התבנית היסודית השנייה (או טנזור הצורה) היא תבנית דיפרנציאלית ריבועית על המישור המשיק של משטח חלק המשוכן במרחב אוקלידי תלת-ממדי, שבדרך כלל מסומנת $\mathrm {I\!I}$ ("שתיים" בספרות רומיות). יחד עם התבנית היסודית הראשונה, היא משמשת כדי להגדיר מאפיינים של הגאומטריה החיצונית של משטח, כמו ערכי העקמומיות הראשיים שלו. באופן כללי יותר, תבנית ריבועית כזאת מוגדרת עבור כל תת-יריעה חלקה של יריעה רימנית.

עבור משטח ב-R³

תיאור של התבנית היסודית השנייה.

מוטיבציה

התבנית היסודית השנייה של משטח פרמטרי S ב-R³ הוצגה לראשונה ונחקרה על ידי גאוס. תחילה נניח שהמשטח הוא גרף של פונקציה גזירה ברציפות פעמיים, $z=f(x,y)$, ושהמישור $z=0$ משיק למשטח בראשית. אז f והנגזרות החלקיות (הראשונות) שלה ביחס ל-x ו-y מתאפסות ב-(0,0). לפיכך, פיתוח טיילור של f מסביב לראשית מתחיל עם איברים ריבועיים:

$z=L{\frac {x^{2}}{2}}+Mxy+N{\frac {y^{2}}{2}}+{\text{higher order terms}}\,,$

והתבנית היסודית השנייה בראשית בקואורדינטות (x,y) היא התבנית הריבועית:

$L\,dx^{2}+2M\,dx\,dy+N\,dy^{2}\,.$

עבור נקודה חלקה P על משטח S, ניתן תמיד לבחור את מערכת הקואורדינטות כך שהמישור z = 0 משיק ל-S ב-P, ולהגדיר את התבנית היסודית השנייה באותו האופן.

הגדרת התבנית היסודית השנייה

התבנית היסודית השנייה של משטח פרמטרי כללי מוגדרת באופן הבא. תהי r = r(u,v) פרמטריזציה רגולרית כלשהי של משטח ב-R³, כך ש-r הוא פונקציה וקטורית של שני משתנים. מקובל לסמן את שתי הנגזרות החלקיות של r ביחס ל-u ו-v כ-r_u ו-r_v, בהתאמה. רגולריות הפרמטריזציה פירושה ש-r_u ו-r_v הם בלתי תלויים ליניארית בעבור כל (u,v) בתחום ההגדרה של r, ולכן פורשים את המישור המשיק ל-S בכל נקודה. באופן שקול, המכפלה הווקטורית r_u × r_v היא וקטור נורמלי למשטח. הפרמטריזציה מגדירה לפיכך שדה של וקטורי יחידה נורמליים n:

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}\,.$

התבנית היסודית השנייה בדרך כלל נכתבת כ-:

$\mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}\,,$

והמטריצה המייצגת של התבנית הריבועית בבסיס r_u, r_v של המישור המשיק היא

${\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}\,.$

המקדמים L, M, N של התבנית היסודית השנייה בנקודה נתונה במישור הפרמטרי uv נתונים על ידי ההיטלים של הנגזרות החלקיות השניות של r באותה נקודה אל הישר הנורמלי ל-S וניתנים לחישוב בעזרת מכפלה סקלרית כדלהלן:

$L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} \,,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} \,,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} \,.$

דוגמה חישובית

אם הדרך העדיפה לייצג משטח היא באמצעות הצגתו המפורשת כגרף $z=f(x,y)$ במקום פרמטריזציה שלו על ידי קואורדינטות עקומות (u,v), אז וקטור היחידה הנורמל למשטח בנקודה $(x,y,f(x,y))$ הוא:

$\mathbf {n} ={\frac {{\vec {r}}_{x}\times {\vec {r}}_{y}}{|{\vec {r}}_{x}\times {\vec {r}}_{y}|}}={\frac {(1,0,f_{x})\times (0,1,f_{y})}{|(1,0,f_{x})\times (0,1,f_{y})|}}={\frac {(-f_{x},-f_{y},1)}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}$

ומקדמי התבנית היסודית השנייה הם:

$L={\vec {r}}_{xx}\cdot \mathbf {n} ={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}$

$M={\vec {r}}_{xy}\cdot \mathbf {n} ={\frac {f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}$

$N={\vec {r}}_{yy}\cdot \mathbf {n} ={\frac {f_{yy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}$

קשרים למיפוי גאוס ואופרטור הצורה

התבנית היסודית השנייה בנקודה נתונה P מכילה מידע על "מידת ההתעקלות" של המשטח M בכיוון הנורמל לו באותה נתונה כאשר מתרחקים מ-P בכיוונים שונים במישור המשיק (עקמומיות נורמלית). למעשה, עבור כיוון נתון $\eta$ במישור המשיק המיוצג על ידי וקטור באורך יחידה ${\hat {\eta }}=(\eta _{u},\eta _{v})$ באותו כיוון, העקמומיות הנורמלית בכיוון $\eta$ נתונה על ידי הצבת רכיבי הווקטור בתבנית היסודית השנייה. אינטואיטיבית, התבנית היסודית השנייה מודדת כמה מהר משתנה כיוונו של וקטור הנורמל למשטח במרחב כאשר נעים בסביבה קטנה של נקודה נתונה, ולפיכך היא בעלת קשר הדוק למיפוי גאוס.

פורמלית, אם מסתכלים על מיפוי גאוס כעל העתקה מ-M לספירה הדו-ממדית $\mathbb {S} ^{2}$, אזי היחס בין שטח התמונה של אלמנט שטח $dM$ תחת מיפוי גאוס לשטחו המקורי ניתן על ידי היעקוביאן של ההעתקה, שהוא הדטרמיננטה של המטריצה המתארת את קצב השתנות ווקטור הנורמל כאשר מתקדמים בכיוונים שונים במישור המשיק (מטריצת הנגזרות הראשונות). מכיוון שווקטורי הנורמל מוגדרים כולם להיות וקטורי יחידה (בעלי אורך קבוע של יחידה), השתנות ווקטור הנורמל חייבת להיות בכיוון ניצב אליו, כלומר להימצא במישור המשיק למשטח T, ולכן מטריצה זאת מייצגת העתקה ליניארית מהמישור המשיק לעצמו. העתקה זאת, כאשר מפעילים אותה על וקטור כיוון ב-T מכונה אופרטור הצורה S.

אופרטור הצורה הוא צמוד לעצמו והמטריצה המייצגת שלו היא סימטרית – הוכחה של טענה זאת נשענת בבסיסה על העובדה שהנגזרת החלקית המעורבת השנייה של r לא תלויה בסדר הגזירה לפי u ו-v, כלומר: ${\frac {\partial ^{2}r}{\partial u\partial v}}={\frac {\partial ^{2}r}{\partial v\partial u}}$. נקודת המבט של אופרטור הצורה מאפשרת לתת הגדרה כללית יותר לתבנית היסודית השנייה, כתבנית הביליניארית הסימטרית $\mathrm {I\!I} ({\mathbf {v}},{\mathbf {w}})=\langle S{\mathbf {v}},{\mathbf {w}}\rangle$. תחת הגדרה זאת, המקדמים L,M,N של התבנית היסודית השנייה כפי שהוגדרו בסעיף הקודם מתקבלים מאופרטור הצורה באופן הבא:

$L=\mathrm {I\!I} (r_{u},r_{u}),M=\mathrm {I\!I} (r_{u},r_{v}),N=\mathrm {I\!I} (r_{v},r_{v})$

הדטרמיננטה של המטריצה המייצגת של אופרטור הצורה S בנקודה היא, שכפי שצוין מקודם, היחס בין שטח התמונה של סביבת הנקודה תחת מיפוי גאוס לשטח הסביבה המקורית – וזוהי על פי הגדרתה עקמומיות גאוס של המשטח באותה נקודה. בנוסף, בחינה מעמיקה של תכונות S מאפשרת להוכיח גם שעקמומיות גאוס היא מכפלת ערכי העקמומיות הראשיים בנקודה, $\kappa _{1}$ ו-$\kappa _{2}$. הסיבה לכך היא שהווקטורים העצמיים של המטריצה המייצגת של S הם הכיוונים הראשיים והערכים העצמיים שלה הם ערכי העקמומיות הראשיים, כך שמכך שהדטרמיננטה שלה היא מכפלת הערכים העצמיים נובעת הגדרה זאת.

העובדה שהווקטורים העצמיים של S הם הכיוונים הראשיים נובעת מהטיעון הבא. העקמומיות הנורמלית $\kappa _{n}$ בכיוון המיוצג על ידי וקטור יחידה ${\hat {\eta }}$ מקיימת $\kappa _{n}=\langle S{\hat {\eta }},{\hat {\eta }}\rangle$. בכיוון בו העקמומיות הנורמלית היא מרבית או מזערית (כיוון ראשי) סיבוב מזערי של וקטור הכיוון לא ישנה את העקמומיות הנורמלית כלל (נקודת קיצון). אם נגזור את המכפלה הפנימית $\langle S{\hat {\eta }},{\hat {\eta }}\rangle$ לפי הזווית $\theta$ עבור כיוון ראשי, נקבל לפיכך:

$0={\frac {d\langle S{\hat {\eta }},{\hat {\eta }}\rangle }{d\theta }}=\langle {\frac {d(S{\hat {\eta }})}{d\theta }},{\hat {\eta }}\rangle +\langle S{\hat {\eta }},{\frac {d{\hat {\eta }}}{d\theta }}\rangle$

(גזירת המכפלה הפנימית לפי כלל לייבניץ). מכיוון ש-${\hat {\eta }}$ הוא וקטור באורך קבוע, הנגזרת שלו לפי $\theta$ היא וקטור יחידה ניצב לו, שנסמנו ${\hat {\mu }}$ (וקטור זה מקיים $\langle {\hat {\mu }},{\hat {\eta }}\rangle =0$). מכיוון ש-S אופרטור ליניארי, מתקיים גם $d(S{\hat {\eta }})/d\theta =S(d{\hat {\eta }}/d\theta )=S{\hat {\mu }}$, ולכן נקבל:

$0=\langle S{\hat {\mu }},{\hat {\eta }}\rangle +\langle S{\hat {\eta }},{\hat {\mu }}\rangle$

מכיוון ש-S סימטרי, נקבל לבסוף:

$0=\langle {\hat {\mu }},S{\hat {\eta }}\rangle +\langle S{\hat {\eta }},{\hat {\mu }}\rangle =2\langle S{\hat {\eta }},{\hat {\mu }}\rangle \implies \langle S{\hat {\eta }},{\hat {\mu }}\rangle =0$

מכיוון ש-$\langle {\hat {\eta }},{\hat {\mu }}\rangle =0$, מצב זה ייתכן רק אם $S{\hat {\eta }}$ הוא כפולה של ${\hat {\eta }}$. לפיכך הפעלה של S על אחד הכיוונים הראשיים מותירה אותם בעינם, כלומר הכיוונים הראשיים הם וקטורים עצמיים עם ערכים עצמיים שהם ערכי העקמומיות הראשיים.

ראו גם

• התבנית היסודית הראשונה

קישורים חיצוניים

• התבנית היסודית השנייה, באתר MathWorld (באנגלית)