התפלגות F

התפלגות F

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\ d_{1},d_{2}$ דרגות חופש
תומך	$x\in [0,+\infty )$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)$
תוחלת	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$ for d2 > 2
ערך שכיח	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ for d1 > 2
שונות	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$ for d2 > 4
צידוד	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!$ for d2 > 6
גבנוניות	ראה טקסט

בהסתברות וסטטיסטיקה, התפלגות F היא התפלגות רציפה שמופיעה פעמים רבות כהשערת האפס להתפלגות לסטטיסטי המבחן במבחנים סטטיסטים, ובפרט בניתוח שונות (ראו מבחן F). התפלגות F ידועה גם כהתפלגות פישר-סנדקור, על שם רונלד פישר וג'ורג' סנדקור.

הגדרה וסימון

כאשר משתנה מקרי $X$ מקבל ערכים לפי התפלגות F עם פרמטרים $d_{1}$ ו-$d_{2}$, נהוג לסמן זאת כך: $X\sim F(d_{1},d_{2})$, ופונקציית צפיפות ההסתברות שלו מוגדרת: $${\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}$$ עבור $x\geq 0$, כאשר $\mathrm {B}$ היא פונקציית בטא. בשימושים רבים נהוג שהמשתנים $d_{1}$ ו-$d_{2}$ מקבלים מספרים שלמים חיוביים, אך הפונקציה מוגדרת היטב לערכים ממשיים חיוביים.

פונקציית ההסתברות המצטברת נתונה על ידי

$F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)$

כאשר $I$ מסמנת את פונקציית בטא הלא שלמה הרגולרית.

אפיון

ניתן לבטא משתנה מקרי עם התפלגות F ופרמטרים $d_{1}$ ו-$d_{2}$ כמנה של שני משתנים מקריים המתפלגים לפי כי בריבוע: $$X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}$$ כאשר $U_{1}$ ו-$U_{2}$ הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, אשר מתפלגים לפי כי בריבוע עם $d_{1}$ ו-$d_{2}$ דרגות חופש, בהתאמה.

ביישומים שבהם משתמשים בהתפלגות F, למשל בניתוח שונות, משתמשים לעיתים במשפט קוצ'רן כדי להראות אי תלות של $U_{1}$ ו-$U_{2}$.

תכונות

התוחלת, השונות ומאפיינים נוספים של התפלגות F ניתנים בתיבת המידע.

עבור $d_{2}>8$, הגבנוניות של התפלגות F היא

$\gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.$

המומנט ה-k של התפלגות $F(d_{1},d_{2})$ קיים, והוא סופי רק כאשר $2k<d2$ . הוא שווה ל

$\mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.$

הפונקציה האופיינית מופיעה בצורה שגויה במקורות סטנדרטים מסוימים (למשל ). הביטוי הנכון הוא

$\varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)$

כאשר $U(a,b,z)$ היא הפונקציה ההיפרגאומטרית הקונפלואנטית מהסוג השני.

קישורים חיצוניים

• התפלגות F, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.