וריאציית הפרמטר

וריאצית הפרמטר (או וריאציית הפרמטרים) במתמטיקה, היא שיטה לפתירת משוואות דיפרציאליות ליניאריות רגילות וחלקיות באופן שיטתי.

שכיח יותר לפתור משוואות ממעלה ראשונה באמצעות שיטת "השוואת מקדמים" או בשיטת "גורם אינטגרציה" (עבור משוואה ליניארית מסדר ראשון) משום ששיטות אלו דורשות פחות מאמץ. אך בניגוד לשיטת וריאציית הפרמטר, הן לעיתים דורשות לעשות שימוש ב"ניחוש מושכל" של הצבות (היוריסטיקה) והן גם לא פותרות באופן שיטתי כל מד"ר.

היסטוריה

שיטת וריאציית הפרמטר הוצגה לראשונה במאה ה-18 על ידי המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר והשלים אותה המתמטיקאי האיטלקי ז'וזף לואי לגרנז'.

מד"ר מסדר ראשון

נתונה משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון. נסדר אותה באופן הבא, כשהיא "מנורמלת" (מקדם $y'$ ערכו 1):

$y'+p(x)y=q(x)$

הפתרון הכללי של המשוואה מורכב מסכום הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (הרשומה מטה) ומפתרון פרטי של המשוואה הלא-הומוגנית.

ראשית נמצא פתרון למשוואה ההומוגנית המתאימה:

$y'+p(x)y=0$.

ניתן לפתור את המשוואה ההומוגנית במגוון דרכים, ביניהן הפרדת משתנים:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y+p(x)y=0$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-p(x)y$

${\frac {\mathrm {d} y}{y}}=-p(x)\,\mathrm {d} x$

$\int {\frac {1}{y}}\,\mathrm {d} y=-\int p(x)\,\mathrm {d} x$

$\ln |y|=-\int p(x)\,\mathrm {d} x+C_{0}$

$|y|=C_{1}e^{-\int p(x)dx},C_{1}>0$

$y=\pm C_{1}e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}=C_{2}e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x},C_{2}\neq 0$

אך מכיוון שגם $y=0$ הוא פתרון ניתן לכלול גם אותו, ולהרשות כל $C_{2}\in \mathbb {R}$.

כלומר, פתרון המשוואה ההומוגנית הוא:

$y_{H}(x)=Ce^{-\int p(x)\,dx}$.

כעת נחזור למשוואה המקורית הלא-הומגנית:

$y'+p(x)y=q(x)$

נשתמש בשיטת וריאציית הפרמטר - באמצעות החלפת הפרמטר $C$ של הפתרון הפרטי בפונקציה $C(x)$:

$y_{p}(x)=C(x)e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}$

באמצעות הצבת הפתרון הפרטי לתוך המשוואה המקורית הלא-הומוגנית ניתן למצוא $C(x)$:

$C'(x)e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}=q(x)$

$C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)$

$C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}$

$C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}$

אנו נדרשים רק לפתרון פרטי, לכן נבחר $C_{1}=0$ לצורך פשטות, כאשר הפתרון הפרטי הוא: $y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,\mathrm {d} x$

לבסוף נסכום את שני הפתרונות הפרטיים שמצאנו לכדי פתרון כללי

$y(x)=y_{H}(x)+y_{p}(x)$

$y(x)=Ce^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}+e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}\int q(x)e^{\int p(x)\,\mathrm {d} x}\,\mathrm {d} x$

מד"ר מסדר שני

בהינתן משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר שני: $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$, נניח שבידינו פתרונות המשוואה ההומוגנית $y_{1}(x),y_{2}(x)$ וננסה פתרון מהצורה:

$y(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)$.

נגזור לפי $x$ ונקבל: $y'=u_{1}'y_{1}+u_{1}y_{1}'+u_{2}'y_{2}+u_{2}y_{2}'$

בנוסף נדרוש שהפונקציות $u_{1},u_{2}$ תקיימנה את התנאי: $y_{1}u_{1}'+y_{2}u_{2}'=0$

ולכן $y'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'$.

נגזור פעם שנייה לפי $x$ ונקבל:

$y''=u_{1}'y_{1}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}'y_{2}'+u_{2}y_{2}''$.

נציב את הנגזרות של הפתרון לתוך המשוואה הדיפרנציאלית: $u_{1}'y_{1}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}'y_{2}'+u_{2}y_{2}''+p(u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}')+q(u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2})=g(x)$.

נסדר את הביטוי מחדש: $u_{1}(y_{1}''+py_{1}'+qy_{1})+u_{2}(y_{2}''+py_{2}'+qy_{2})+u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=g(x)$.

$y_{1},y_{2}$ הם פתרונות של המשוואה ההומוגנית, ולכן $y_{1/2}''+py_{1/2}'+qy_{1/2}=0$.

בינתיים יש לנו שתי משוואות שבעזרתן נוכל למצוא את $u_{1},u_{2}$:

${\begin{cases}y_{1}u_{1}'+y_{2}u_{2}'=0\\y_{1}'u_{1}'+y_{2}'u_{2}'=g(x)\end{cases}}$

נוכל לחלץ את הערכים של $u_{1}',u_{2}'$, ולרשום אותם דרך הורונסקיאן:

$u_{1}'=-{y_{2}(x)g(x) \over W(y_{1},y_{2})}$,$u_{2}'={y_{1}(x)g(x) \over W(y_{1},y_{2})}$.

ומכאן: $u_{1}=-\int {y_{2}(x)g(x) \over W(y_{1},y_{2})}\mathrm {d} x$,$u_{2}=\int {y_{1}(x)g(x) \over W(y_{1},y_{2})}\mathrm {d} x$.

נרשום את הפתרון הפרטי למשוואה: $y_{p}=-y_{1}\int {y_{2}(x)g(x) \over W(y_{1},y_{2})}\mathrm {d} x+y_{2}\int {y_{1}(x)g(x) \over W(y_{1},y_{2})}\mathrm {d} x$.

למעשה קיבלנו את הפתרון הכללי למשוואה הדיפרנציאלית: $y(x)=Ay_{1}+By_{2}+y_{p}$ כאשר הפרמטרים $A$ ו-$B$ מתקבלים מתנאי ההתחלה.

קישורים חיצוניים

• וריאציית הפרמטר, באתר MathWorld (באנגלית)
• וריאציית הפרמטר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)