מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באנליזה מתמטית , זהות המכפלה המשולשת של יעקובי היא הזהות המתמטית:
∏
m
=
1
∞
(
1
−
x
2
m
)
(
1
+
x
2
m
−
1
y
2
)
(
1
+
x
2
m
−
1
y
2
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
x
n
2
y
2
n
,
{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},}
כאשר x ו-y הם מספרים מרוכבים המקיימים x | < 1| ו-y ≠ 0.
הזהות הוצגה לראשונה על ידי קרל גוסטב יעקב יעקובי (1829) בחיבורו Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.
זהות המכפלה המשולשת של יעקובי כוללת כמקרים פרטיים זהויות רבות אחרות, כמו משפט המספרים המחומשים של לאונרד אוילר וההצגה של פונקציות תטא של יעקובי כמכפלה אינסופית.
למשל, אם נציב
x
=
q
q
{\displaystyle x=q{\sqrt {q}}}
y
2
=
−
q
{\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}
ϕ
(
q
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
m
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
q
3
n
2
−
n
2
.
{\displaystyle \phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}
זהות המכפלה המשולשת מאפשרת לכתוב את פונקציית תטא כמכפלה אינסופית. נניח כי
x
=
e
i
π
τ
{\displaystyle x=e^{i\pi \tau }}
y
=
e
i
π
z
{\displaystyle y=e^{i\pi z}}
ϑ
(
z
;
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
π
i
n
2
τ
+
2
π
i
n
z
{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}}
והיא ניתנת לרישום כמכפלה אינסופית באופן הבא:
ϑ
(
z
;
τ
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
e
2
m
π
i
τ
)
[
1
+
e
(
2
m
−
1
)
π
i
τ
+
2
π
i
z
]
[
1
+
e
(
2
m
−
1
)
π
i
τ
−
2
π
i
z
]
.
{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].}
בפרט, הצבת
y
=
1
{\displaystyle y=1}
∏
m
=
1
∞
(
1
−
x
2
m
)
(
1
+
x
2
m
−
1
)
2
=
∑
n
=
−
∞
∞
x
n
2
{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{2m})(1+x^{2m-1})^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}}
תהי
f
x
(
y
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
x
2
m
)
(
1
+
x
2
m
−
1
y
2
)
(
1
+
x
2
m
−
1
y
−
2
)
{\displaystyle f_{x}(y)=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{2m})(1+x^{2m-1}y^{2})(1+x^{2m-1}y^{-2})}
y (כאן x נלקח כקבוע). אזי
f
x
(
x
y
)
=
(
∏
m
=
1
∞
(
1
−
x
2
m
)
)
(
1
+
x
3
y
2
)
(
1
+
1
x
y
2
)
(
1
+
x
5
y
2
)
(
1
+
x
y
2
)
⋯
=
1
+
x
−
1
y
−
2
1
+
x
y
2
f
x
(
y
)
=
x
−
1
y
−
2
f
x
(
y
)
{\displaystyle f_{x}(xy)=(\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{2m}))(1+x^{3}y^{2})(1+{\frac {1}{xy^{2}}})(1+x^{5}y^{2})(1+{\frac {x}{y^{2}}})\cdots ={\frac {1+x^{-1}y^{-2}}{1+xy^{2}}}f_{x}(y)=x^{-1}y^{-2}f_{x}(y)}
מכיוון ש-fx היא מרומורפית בעבור y| > 0| , יש לה פיתוח לטור לורן
f
x
(
y
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
c
n
(
x
)
y
2
n
{\displaystyle f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)y^{2n}}
∑
n
=
−
∞
∞
c
n
(
x
)
x
2
n
+
1
y
2
n
=
x
f
x
(
x
y
)
=
y
−
2
f
x
(
y
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
c
n
+
1
(
x
)
y
2
n
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)x^{2n+1}y^{2n}=xf_{x}(xy)=y^{-2}f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n+1}(x)y^{2n}}
ולכן גם
c
n
+
1
(
x
)
=
c
n
(
x
)
x
2
n
+
1
=
c
0
(
x
)
x
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle c_{n+1}(x)=c_{n}(x)x^{2n+1}=c_{0}(x)x^{(n+1)^{2}}}
c
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle c_{0}(x)=1}
פונקציות מודולריות .
![{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f417003b01fd8df619627421b099ba3437aa02d)
