זהות המכפלה המשולשת של יעקובי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה מתמטית, זהות המכפלה המשולשת של יעקובי היא הזהות המתמטית:

כאשר x ו-y הם מספרים מרוכבים המקיימים x| < 1| ו-y ≠ 0.

הזהות הוצגה לראשונה על ידי קרל גוסטב יעקב יעקובי (1829) בחיבורו Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

זהות המכפלה המשולשת של יעקובי כוללת כמקרים פרטיים זהויות רבות אחרות, כמו משפט המספרים המחומשים של לאונרד אוילר וההצגה של פונקציות תטא של יעקובי כמכפלה אינסופית.

למשל, אם נציב ו-, אז נקבל את משפט המספרים המחומשים:

זהות המכפלה המשולשת מאפשרת לכתוב את פונקציית תטא כמכפלה אינסופית. נניח כי ו-. אז פונקציית תטא היא:

והיא ניתנת לרישום כמכפלה אינסופית באופן הבא:

בפרט, הצבת נותנת את הזהות:

.

הצדקה לנכונות הזהות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי פונקציה של המשתנה y (כאן x נלקח כקבוע). אזי

.

מכיוון ש-fx היא מרומורפית בעבור y| > 0|, יש לה פיתוח לטור לורן , פיתוח המקיים:

ולכן גם . קיבלנו איפה את הצורה הכללית של ההצגה של המכפלה האינסופית שבאגף שמאל של זהות יעקובי כטור אינסופי. לעומת זאת, הוכחה ש- היא טכנית יותר ועושה שימוש בתאוריה של פונקציות מודולריות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Jacobi, C. G. J. (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (בלטינית), Königsberg: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, Reprinted by Cambridge University Press 2012
  • Wolfram Mathworld - Jacobi Triple Product

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]