מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי .
זהות ויינשטיין-ארונסיין שידועה גם כזהות הדטרמיננטה של סילבסטר קובעת שאם
A
∈
M
m
×
n
(
F
)
{\displaystyle A\in M_{m\times n}(F)}
היא מטריצה עם m שורות ו-n עמודות, ו-
B
∈
M
n
×
m
(
F
)
{\displaystyle B\in M_{n\times m}(F)}
היא מטריצה עם n שורות ו-m עמודות, אזי הדטרמיננטה מקיימת
det
(
I
m
+
A
B
)
=
det
(
I
n
+
B
A
)
{\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA)}
כאשר
I
k
{\displaystyle I_{k}}
היא
מטריצת היחידה מסדר k.
נוסחה זו שימושית כאשר n הוא מספר גדול ו-m קטן משמעותית ממנו, ורוצים לחשב דטרמיננטות מהסוג הנ"ל במחשב , שכן הסיבוכיות של חישוב נומרי של דטרמיננטה של מטריצה ריבועית מסדר k הוא
O
(
k
3
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(k^{3})}
.
נשים לב, שלפי כללי דטרמיננטה של מטריצת בלוקים :
det
(
I
m
+
A
B
)
=
det
[
I
m
+
A
B
0
B
I
n
]
{\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}}
אבל את מטריצת הבלוקים אפשר לכתוב כ
מכפלת מטריצות :
[
I
m
+
A
B
0
B
I
n
]
=
[
I
m
A
0
I
n
]
[
I
m
−
A
B
I
n
]
=
X
⋅
Y
{\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{m}&A\\0&I_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{bmatrix}}=X\cdot Y}
כעת נעזר בכפליות הדטרמיננטה:
det
(
X
Y
)
=
det
(
X
)
det
(
Y
)
=
det
(
Y
)
det
(
X
)
=
det
(
Y
X
)
{\displaystyle \det(XY)=\det(X)\det(Y)=\det(Y)\det(X)=\det(YX)}
ברם,
Y
X
=
[
I
m
−
A
B
I
n
]
[
I
m
A
0
I
n
]
=
[
I
m
0
B
I
n
+
B
A
]
{\displaystyle YX={\begin{bmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{m}&A\\0&I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}}
אבל שוב מחישוב דטרמיננטה של
מטריצת בלוקים נקבל
det
[
I
m
0
B
I
n
+
B
A
]
=
det
(
I
n
+
B
A
)
{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}=\det(I_{n}+BA)}
ואם נסכם הכל:
det
(
I
m
+
A
B
)
=
det
[
I
m
+
A
B
0
B
I
n
]
=
det
[
I
m
0
B
I
n
+
B
A
]
=
det
(
I
n
+
B
A
)
{\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}=\det(I_{n}+BA)}
מש"ל .