זנק הידראולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
דוגמה קלאסית לזנק היא מעגל המים 'המזנק' סביב זרם המים, ומבטא את המעבר מזרימה סדורה ורגועה (למינרית) לזרימה גועשת (טורבולנטית).

זנק הידראוליאנגלית: Hydraulic Jump), הוא תופעה המתרחשת בזרימה בתעלות פתוחות כאשר גובה הזורם עולה באופן פתאומי (מזנק) ללא שינוי גאומטרי בממדי התעלה. חלק מחידתיות התופעה נעוצה בהפסדי האנרגיה (דיסיפציה) העוברת למערבולות המתפתחות בזרימה, ובהן מומרת האנרגיה הקינטית להפסדים של אנרגיית חום. אופי הזרימה נקבע באמצעות מספר פראוד המבטא את היחס בין מהירות התקדמות הזורם לבין מהירות גל הכובד:  F_r=\frac{V} { \sqrt{gy} } ומסווג לשלושה תחומי זרימה;
על-קריטית ( F_r>1 ), קריטית ( F_r=1 ) ותת קריטית ( F_r<1 ).


קיים דמיון רב בין תופעת הזנק בנוזלים ובין תופעת גל הלם בזרימה דחיסה במובן של השינוי הפתאומי ואי הרציפות הנוצרת בתווך החומרי, ובמובן של חזית הגל המתקדמת ששונה משמעותית בלחץ ובצפיפותה. על כן, בשל הפסדי האנרגיה הרבים החלים במערכת, נהוג לחשב את שינויי המערכת לפי שימור תנע תוך שימוש בנפח בקרה מבודד, ולא לפי משוואת שימור אנרגיה רגילה.

זרם מים ביציאה ממחליף החום בתחנת הכוח רדינג בתל אביב


הסבר אינטואיטיבי לתופעה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר זורם במהירות גבוהה מספיק (מעל מהירות קריטית מסוימת) זולג לתוך אזור שמאפשר רק מהירות זרימה נמוכה יותר, כמו למשל בתעלה בעלת שטח חתך משתנה, שינוי פתאומי מתחולל בגובה פני הזורם. הנוזל הזורם במהירות מאט בפתאומיות ומגדיל את גובהו, ובכך ממיר חלק מהאנרגיה הקינטית ההתחלתית של הזורם לגידול באנרגיה הפוטנציאלית שלו, יחד עם כמות מסוימת של אנרגיה שאובדת באופן בלתי הפיך לחום דרך טורבולנציה.

בעבור מהירויות זרימה התחלתיות שאינן משמעותית מעל המהירות הקריטית, המעבר מופיע כגל נייח קטן על פני המים. כשמהירות הזרימה ההתחלתית גדלה עוד יותר, המעבר נעשה פתאומי יותר, עד אשר במהירויות גבוהות מספיק, חזית המעבר נשברת ומתערבלת בחזרה על עצמה. כאשר זה קורה, הקפיצה יכולה להיות מלווה בטורבולנציה אלימה, ערבוב של האוויר והמים המופיע כתצורות של בועות במים, גלי שטח (אדוות - גלי מתח פנים), וגלי מים.

סיווג[עריכת קוד מקור | עריכה]

זנק הידראולי נע, או נחשול גאות, כפי שנצפה במפרץ קוק באלסקה. ניתן לראות בתמונה את האזור הטורבולנטי מקדימה לקיר המים, בדומה לטורבולנציה המתקיימת באזור המעבר בזנק ההידראולי הנייח.

ישנן שתי תופעות עיקריות בהם מתגלמת תופעת הזנק ההידראולי, ומבחינה היסטורית נעשה שימוש בטרמינולוגיה שונה לכל תופעה. אף על פי כן, המכניזמים מאחורי כל תופעה דומים, ושתי התופעות הן פשוט וריאציות אחת של השנייה הנצפות ממערכת ייחוס שונה, ולכן אותן טכניקות אנליטיות משמשות לניתוח שלהן.

שני הסוגים הם:

  • הזנק ההידראולי הנייח - מים הזורמים במהירות הופכים בקפיצה נייחת למים הזורמים באיטיות.
  • הזנק ההידראולי הנע - שנקרא גם נחשול גאות (אף שתופעת הגאות והשפל אינה הגורם היחידי המחולל אותו) - קיר של מים שנע ביחד עם הזרם. אם עוברים למערכת הייחוס של הקיר, התופעה נראית כזנק ההידראולי הנייח. למעשה, התקדמות גל צונאמי באוקיינוס הפתוח נעשית כמו הזנק ההידראולי הנע (מתחת לגל, הים כולו נמצא בתנועה אופקית), וניתן להיעזר באותם כלים אנליטיים המשמשים לניתוח הזנק ההידראולי כדי להסיק שמהירות התקדמות הצונאמי באוקיינוס בעומק H היא v = \sqrt {{gH}}.

ניתוח מתמטי של התופעה בזרימה בתעלות - חיזוי גובה הקפיצה[עריכת קוד מקור | עריכה]

גודל הקפיצה בגובה המים בזנק הידראולי בתעלות נגזר מיישום משוואות הרציפות ומשוואות שימור התנע לזרימה אי-דחיסה בעלת חתך משתנה (גובה הזורם משתנה).

המחשה של התנהגות הזרימה בזנק הידראולי.

יישום עקרון הרציפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במכניקת הזורמים, עקרון הרציפות הוא ניסוח שקול לשימור המסה. בהינתן משטח סגור התוחם במלואו זורם, הזורם זורם לתוך הנפח שלו בחלק מהמשטח והחוצה מהמשטח בחלק אחר ממנו, אך סך הזרימה אליו היא אפס, שכן צפיפות הזורם קבועה. במקרה של תעלה מלבנית, השוויון בין שטף הזרימה פנימה (\rho v_0 h_0L) והחוצה (\rho v_1 h_1L) אל איזור המעבר (האיזור בו גובה הזורם משתנה) מניב:

 v_0 h_0L = v_1 h_1L = q או v_1  = v_0 {h_0 \over h_1}

כאשר \rho היא צפיפות הזורם, v_0 ו-v_1 הם המהירויות האופקיות הממוצעות של פרודות הזורם משני צידי הזנק ההידראולי, L הוא רוחב התעלה, ו-h_0 ו-h_1 עומק המים משני צידיו.

שינוי שטף התנע[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להבין כיצד מהירות הזורם משתנה משני צידי הקפיצה, נביט בעמודות מים משני צידי הזנק. המתקף שעמודת מים יוצרת שווה למכפלת משך הזמן באינטגרל על הכוח ההידרוסטטי שהיא יוצרת בכל העומקים, כלומר:

J =  T*\int_{0}^{h}L\rho ghdh = T*\frac{{1}}{{2}}L\rho gh^2.

בסיטואציה של זנק הידראולי בתעלה מלבנית, הזורם מאבד תנע בקצב קבוע ששווה להפרש בין סך הכוחות ההידרוסטטיים משני צידיו, כאשר קצב איבוד התנע מיוצג על ידי מכפלת ספיקת הזרימה בהפרש המהירויות משני צידיו. מתמטית, קשר זה מניב משוואה נוספת:

 \rho v_0^2h_0  +  {1 \over 2} \rho gh_0^2 = \rho v_1^2h_1 + {1 \over 2} \rho gh_1^2..

כעת, אם נחלק את שני האגפים ב-\rho וניעזר בתוצאה של משוואת הרציפות, נקבל את הביטוי:

 v_0^2 \left(h_0-{h_0^2 \over h_1}\right) + {g \over 2} (h_0^2 - h_1^2)=0.

שלאחר מספר מניפולציות אלגבריות הופך ל-:

 {1 \over 2} {h_1 \over h_0}\left({h_1 \over h_0} + 1\right) - Fr^2 = 0, .

כאשר  Fr^2={v_0^2 \over gh_0} . כאן Fr הוא מספר פראוד חסר הממדים, המקשר בין כוחות גרביטציוניים לכוחות אינרציה בזרימה. פתירת המשוואה הריבועית הזאת מניבה:

  {h_1 \over h_0}   =\frac{-1 \pm{\sqrt{1+{\frac{8v_0^2}{gh_0}}}}}{2} .

האפשרויות השליליות אינן מציגות פתרונות פיזיקליים בעלי משמעות, לכן:

Burdekin Dam.jpg

  {h_1 \over h_0} =\frac{-1 +{\sqrt{1+{\frac{8v_0^2}{gh_0}}}}}{2}    {h_1 \over h_0}   =\frac{{\sqrt{1+{{8Fr^2}}} -1}}{2},

קשר זה ידוע כמשוואת Bélanger. ניתן לראות כי קיימים שלושה סוגי פתרונות:

  • כאשר   \frac{v_0^2}{gh_0} = 1, אז  {h_1 \over h_0} = 1 (כלומר אין קפיצה).
  • כאשר   \frac{v_0^2}{gh_0} < 1, אז  {h_1 \over h_0} < 1 (כלומר יש קפיצה שלילית בגובה. אף על פי שמשוואות הרציפות והתנע מאפשרות פתרון כזה, הוא לא ייתכן פיזיקלית - מבחינה אנרגטית שטף האנרגיה היוצאת גדול משטף האנרגיה הנכנס. ניתן להסביר זאת ישירות גם מבלי להשתמש במשוואות, כתוצא ישיר של תהליכי השחיקה הטורבולנטיים הבלתי-הפיכים. כלומר, אם קפיצה שלילית הייתה יכולה להתקיים, ניתן היה להפוך את כיוון הזרימה ולקבל ששטף האנרגיה לתוך אזור הזנק גדול משטף האנרגיה החוצה מהזנק).
  • כאשר   \frac{v_0^2}{gh_0} > 1, אז  {h_1 \over h_0} > 1 (כלומר יש קפיצה חיובית בגובה).

לסיכום, זנק הידראולי יתכן רק אם מהירות הזורם היא על-קריטית, כאשר  \ Fr > 1, כלומר כאשר מהירות הזורם עולה על מהירות גל הכבידה בעומק כזה של הזורם. תנאי זה שקול לאמירה שמהירות הזורם לפני הזנק היא על-קריטית ואחרי הזנק היא תת-קריטית.

קצב השחיקה האנרגטית בזנק הידראולי[עריכת קוד מקור | עריכה]

קצב אובדן האנרגיה שווה לספיקת התעלה Q כפול השינוי הממוצע באנרגיה הסגולית (אנרגיה ליחידת מסה) הכוללת (קינטית + פוטנציאלית). אם נסתכל בשינוי שעובר עמוד מים בין לפני ואחרי הזנק נראה שהוא מתכווץ ברוחב ומתרחב בגובה, ולכן האנרגיה הפוטנציאלית של העמוד גדלה ב- m\frac {{g(h_1 - h_0)}}{{2}}, זאת בעוד האנרגיה הקינטית של העמוד קטנה ב-:   \frac {{1}}{{2}}m(v_0^2 - v_1^2) = \frac {{1}}{{2}}mv_0^2(1 - \frac {{h_0^2}}{{h_1^2}}) . לפיכך קצב השחיקה נתון בביטוי:

 Q((\frac {{1}}{{2}}v_0^2(1 - \frac {{h_0^2}}{{h_1^2}}) - \frac {{g(h_1 - h_0)}}{{2}})

זרימה בתעלות עם רוחב משתנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כעת ננסה לנתח את הזרימה המתקבלת בתעלות בהן רוחב התעלה יכול לגדול או לקטון. ניתוח הבעיה הזאת מספק הבנה מה גורם לתופעת הזנק ההידראולי, ולא רק מה התנאי להתרחשות שלה. בדומה לניתוח של זרימה בתעלה בעלת רוחב קבוע, משוואת הרציפות מאפשרת לכתוב:

\rho hvL = Q, L = \frac {{Q}} {{\rho hv}}

ומשוואת שימור התנע נותנת:

Lhv^2 + \frac {{1}} {{2}}gh^2L = const

אם נציב את התוצאה של משוואת הרציפות במשוואת שימור התנע, נקבל את התוצאה:

v + \frac {{gh}} {{2v}} = const

כדי לנסות להבין כיצד משתני הזרימה (h,v) מתנהגים כאשר רוחב התעלה משתנה, ננתח את ההתנהגות המקומית שלהם דרך הנגזרות \frac {{dh}}{{dv}},\frac {{dL}}{{dv}}. גזירת משוואת הרציפות מניבה:

vL\frac {{dh}}{{dv}} + hv\frac {{dL}}{{dv}} + hL = 0

באופן דומה נגזור לפי המהירות את התוצאה של שתי המשוואות הראשונות (את התוצאה v + \frac {{gh}} {{2v}} = const) ונקבל:

1 - \frac{{gh}} {{2v^2}} + \frac {{gdh}}{{2vdv}} = 0 או:

\frac {{dh}} {{dv}} = \frac{{h}} {{v}} - \frac{{2v}}{{g}}.

נציב את התוצאה ל-\frac {{dh}} {{dv}} בנגזרת של משוואת הרציפות ונקבל לאחר פישוט אלגברי מסוים:

\frac{{dL}} {{dv}} = 2L(\frac{{v}}{{gh}} - \frac{{1}} {{v}}) = \frac{{2L}} {{v}}(\frac{{v^2}}{{gh}} - 1) = \frac{{2L}} {{v}}(Fr^2 - 1)

ניתן להסיק מהמשוואה לנגזרת של רוחב התעלה לפי המהירות, שכל עוד מהירות הזרימה היא תת-קריטית (Fr<1), רוחב התעלה קטן כשמהירות הזרימה גדלה (ועומק המים קטן) וגדל כשמהירות הזרימה קטנה, בהתאמה עם האינטואיציה, בעוד שכשמהירות הזורם היא על-קריטית, רוחב התעלה גדל כשמהירות הזורם גדלה (ועומק המים קטן) וקטן כשמהירות הזורם קטנה, בניגוד לאינטואיציה. בניגוד למקרה של תעלה עם רוחב קבוע, אין סתירה לחוק שימור האנרגיה בזה שעומק המים יכול לקטון (שכן vh אינו קבוע).

ניתן איפוא להיווכח בכך, שכדי לחולל זנק הידראולי, מספיק לייצר תעלה כזאת שתקטן בצורה מתונה עד שמהירות הזורם תגדל למהירות מסוימת מעבר למהירות הקריטית, ולאחר מכן תקטן בצורה תלולה יותר ותכריח את הזורם להאט את מהירותו בפתאומיות. במצב זה הזורם יגיב בביצוע זנק הידראולי, וגובה הזורם יגדל בצורה פתאומית. יתרה מכך, אם מטרת תכנון התעלה היא להגדיל את מהירות הזורם למהירויות גבוהות מאוד, ניתן לתכנן את התעלה כך שרוחבה יקטן עד לנקודה מסוימת ולאחר מכן יגדל, וכך מהירות הזורם תגדל כל הזמן.

תופעה זו, כלומר דרך התכנון הזאת, אנלוגית במידה מסוימת, לתופעת זרימת דה-לאוול בזרימה דחיסה, המשמשת בתכנון נחירי פליטה בטילים. במקרה זה, הנחיר קטן בשטח החתך שלו עד שהגז מגיע למהירות הקול, ולאחר מכן מתרחב כך שהגז ממשיך להגדיל את מהירותו למספרי מאך גבוהים יותר.

יישומים תעשייתיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

שחיקת אנרגיה מכוונת באמצעות זנק הידראולי. באיור ניתן לראות את הקפיצה בגובה המים לאחר שזרמו במורד הגבעה.

בהנדסת מים, זנק הידראולי יזום הוא הדרך הנפוצה ביותר "לבזבז" את האנרגיה של זרימה מהירה של מים. זנק הידראולי שמתוכנן היטב יכול לבזבז עד 60% - 70% מהאנרגיה של הזרימה, ובכך להגביל את הנזק שנגרם למבנים העומדים בדרכה של הזרימה. ספרות מדעית ענפה פותחה לסוג זה של הנדסה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]