זרימת קואט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במכניקת הזורמים, זרימת קואטצרפתית: Couette) היא זרימה למינרית של זורם צמיגי במרחב שבין שני לוחות מקבילים, כאשר אחד מן הלוחות נע יחסית לשני. הזרימה מונעת על ידי כוח הצמיגות המופעל על הזורם וגם על ידי גרדיאנט הלחצים בין שני הלוחות. סוג זה של זרימה קרוי על שם של מוריס מארי אלפרד קואט, פרופסור לפיזיקה מאוניברסיטאת אנז'ה, צרפת, בשלהי המאה ה-19.

הדגמה תפישתית פשוטה[עריכת קוד מקור | עריכה]

זרימת קואט פשוטה בין לוחות אינסופיים

תיאור מתמטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

זרימת קואט מובאת לעתים תכופות בלימודי פיזיקה והנדסה כדי להדגים תנועת זורם המונעת מכוח גזירה. הדוגמה הפשוטה ביותר מראה שני לוחות אינסופיים מקבילים המרוחקים במרחק h זה מזה. לוח אחד, נניח העליון, נע במהירות u_0 במישור שלו. בהזנחת השפעות של גרדיאנט הלחץ, ניתן לפשט את משוואות נאוויה-סטוקס לצורה:

 \frac{d^2u}{dy^2} = 0,

כאשר y היא קואורדינטה מרחבית הניצבת ללוחות ו-u(y) היא התפלגות המהירות. משוואה זו משקפת את ההנחה שזרימה זו היא "חד-כיוונית". זהו מרכיב המהירות היחידי מבין השלושה (u, v, w) שאינו טרוויאלי. אם ראשיתו של y בלוח התחתון אזי תנאי השפה הינם  u(0)= 0 , u(h)=u_0 והפתרון המדויק יכול להתקבל מאינטגרציה כפולה ושימוש בתנאי השפה.

u(y) = u_0\frac{y}{h}

גזירה קבועה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תובנה הראויה לציון שניתן להסיק מן המודל הנ"ל היא שלאורך הלוח מאמץ הגזירה קבוע. במיוחד ניתן לראות שהנגזרת הראשונה של המהירות u_0/h היא קבועה. לפי חוק ניוטון של הצמיגות מאמץ הגזירה הוא התוצר של המכפלה הווקטורית בין הביטויי הנ"ל וצמיגות הזורם.

זרימת קואט עם גרדיאנט לחץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקרה כללי יותר לזרימת קואט הוא כאשר קיים גרדיאנט לחץ בכיוון מקביל ללוחות. במקרה זה ניתן לפשט את משוואת נאוויה-סטוקס לצורה:

\frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx},

כאשר dp\!/\!dx הוא גרדיאנט הלחץ המקביל ללוחות ו-\mu הוא צמיגות הזורם. מאינטגרציה של המשוואה הנ"ל פעמיים ומשימוש בתנאי השפה (אותם תנאים כמו קודם) נקבל את הפתרון המדויק לפילוג הזרימה:

u(y) = u_0\frac{y}{h} + \frac{1}{2\mu} \left(\frac{dp}{dx}\right) \left(y^2 - hy\right).

הצורה של פילוג המהירות הנ"ל תלוי במשתנה על-ממדי

P = - \frac{h^2}{2\mu u_0} \left(\frac{dp}{dx}\right).

גרדיאנט הלחץ יכול להיות חיובי או שלילי. בנוסף, ניתן להבחין במקרה מוגבל בו הלוחות אינם נעים ואז ניתן לראות פרופיל זרימה פואזילי (Poiseuille) רגיל בצורת פרבולה סימטרית.

מודל טיילור האידאלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקונפיגורציה המתוארת לעיל איננה יכולה להתממש במציאות, הרי לא קיימים לוחות אינסופיים. סר ג'פרי טיילור התעניין בזרימות מונעות גזירה הנגרמות על ידי סיבוב של גלילים בעלי מרכז משותף והוא הגיע לפתרון מתמטי בשנת 1923 שהכליל עקמומיות של כיוון הזרימה בצורה הבאה:

u(r) = C_1 r + \frac{C_2}{r},

כאשר C_1,C_2 הם קבועים התלויים בתנאי שפה. ניתן להבחין במשוואה זו שאפקט העקמומיות לא מאפשר את קיום מאמץ הגזירה הקבוע בשדה הזרימה כמו שמתואר לעיל. המודל של טיילור איננו מושלם מפני שהוא לא מתחשב בתופעות הקרובות לשפה בגלילים בעלי רוחב סופי, למרות שניתן לומר שהוא קירוב טוב, אם מימד הרוחב גדול בהרבה מן המרחב בין הגלילים.

מודל רוחב-סופי[עריכת קוד מקור | עריכה]

פתרונו של טיילור תקף במכשירים בהם יש עקמומיות גלילית שלעתים באים בשימוש ליצירת זרימת קואט, אבל איננו תקף למקרה של רוחב סופי. אידאליזציה נוספת אכן תקפה למקרים סופיים אך לא למקרים בעלי עקמומיות. בתרשים שלעיל, אולי נחשוב ש-"לוח הגבול" ו-"הלוח הנע" הם בעצם שפות של שני גלילים בעלי רדיוס ענק. נניח R_1,R_2 בהתאמה, כאשר R_2 הוא גדול רק במעט מ-R_1. במקרה הזה באופן מקומי ניתן להזניח את העקמומיות. הפיזיקאי/מתמטיקאי רתיפ ברקר דיווח על פתרון מתמטי של הקונפיגורציה הזאת במונחים של פונקציות טריגונומטריות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]