חבורה מושלמת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, חבורה מושלמת היא חבורה G השווה לתת-חבורת הקומוטטורים של עצמה, כלומר, . במלים אחרות, אלו הן החבורות שאין להן אף מנה אבלית לא טריוויאלית. לדוגמה, כל חבורה פשוטה לא אבלית היא מושלמת. מאידך, יש חבורות מושלמות שאינן פשוטות, כמו .

כל מנה של חבורה מושלמת היא מושלמת.

הקשר להרחבות אוניברסליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרחבה מרכזית של חבורה G היא חבורה עם אפימורפיזם שהגרעין שלו מוכל במרכז של G. הרחבה מהצורה (עם ההטלה על הרכיב הראשון), כאשר A אבלית, היא טריוויאלית. הרחבה מרכזית היא אוניברסלית אם היא מתפצלת דרך כל הרחבה מרכזית אחרת באופן יחיד, כלומר: לכל הרחבה מרכזית יש הומומורפיזם ההופך את הדיאגרמה המתאימה לקומוטטיבית; במובן מסוים, הרחבה אוניברסלית היא הרחבה גדולה ביותר, למעט תוספות טריוויאליות שכביכול אינן רלוונטיות (את ההרחבות המרכזיות האוניברסליות התחיל ללמוד ישי שור ב-1904).

מתברר שלחבורה יש הרחבה מרכזית אוניברסלית אם ורק אם היא מושלמת. יתרה מזו, הרחבה מרכזית U של G היא אוניברסלית אם ורק אם U מושלמת בעצמה, ואין לה הרחבות מרכזיות לא טריוויאליות.

את ההרחבה המרכזית האוניברסלית של חבורה מושלמת אפשר לחשב באופן ישיר, מן ההצגה שלה באמצעות יוצרים ויחסים: אם כאשר F חבורה חופשית ו-R חבורת היחסים, אז ההרחבה המרכזית האוניברסלית היא (ההטלה היא על משום ש-, שהרי מושלמת). הגרעין של ההטלה הזו הוא - כופל שור של G. הכופל אינו תלוי בהצגה, משום שהוא איזומורפי לחבורת ההומולוגיה השנייה .

בין הדוגמאות החשובות לבניה הזו נמצא הפונקטור : לכל חוג R, חבורת המטריצות האלמנטריות היא מושלמת, וההרחבה האוניברסלית שלה היא חבורת סטיינברג של החוג, . הגרעין של ההטלה מן החבורה השנייה אל הראשונה הוא .