חבורת הקווטרניונים
חבורת הקווטרניונים היא חבורה לא אבלית מסדר 8. מקובל לסמן את החבורה Q8 או פשוט Q.
ניתן להציג את החבורה כך: . זוהי הצגה נוחה, אך בזבזנית של Q. למעשה החבורה נוצרת גם על ידי שני איברים בלבד, וניתן להציגה כ-. x, y הם כל שניים מבין i, j, k. את לוח הכפל של החבורה אפשר לקרוא מן הטבלה הבאה (כאשר שינוי הסימן של אחד הגורמים משנה גם את הסימן של המכפלה):
× | 1 | i | j | k |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | i | j | k |
i | i | −1 | k | −j |
j | j | −k | −1 | i |
k | k | j | −i | −1 |
חבורת הקווטרניונים עומדת בבסיס אלגברת הקווטרניונים של המילטון . האחרונה היא אוסף הצירופים הליניאריים מעל הממשיים של איברי חבורת הקווטרניונים. כלומר: .
הצגה ליניארית
[עריכת קוד מקור | עריכה]חבורת הקווטרניונים ניתנת להצגה ליניארית כתת חבורה של , החבורה הליניארית המיוחדת מסדר 2 מעל המרוכבים, הכוללת את איברי החבורה הליניארית הכללית שהדטרמיננטה שלהם היא 1:
הצגה נוספת של Q היא כתת-חבורה של , חבורת המטריצות 2×2 מעל השדה הסופי מסדר 3 (שאיבריו הם ):
הצגה זו מראה ש-Q היא תת חבורה נורמלית מאינדקס 3 של (שהסדר שלה הוא 24).
תכונות
[עריכת קוד מקור | עריכה]המרכז של החבורה הוא {1, −1}. חבורת המנה ביחס למרכז וחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של חבורת הקווטרניונים איזומורפיות לחבורת הארבעה של קליין. חבורת האוטומורפיזם הכללית איזומורפית לחבורה הסימטרית S4 וחבורת האוטומורפיזם החיצונית ל-S3.
חבורה המילטונית היא חבורה לא אבלית, שכל תת-החבורות שלה הן נורמליות. כל חבורה המילטונית היא מכפלה של חבורת הקווטרניונים בחבורה אבלית שהיא מכפלת חבורת-2 אלמנטרית בחבורה מפותלת שכל אבריה מסדר אי-זוגי. (חבורה שהיא או אבלית או המילטונית נקראת לפעמים "חבורת דדקינד").
ראו גם
[עריכת קוד מקור | עריכה]קישורים חיצוניים
[עריכת קוד מקור | עריכה]- חבורת הקווטרניונים, באתר MathWorld (באנגלית)