חבורת הקווטרניונים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
גרף קיילי של חבורת הקווטרניונים. חצים אדומים מייצגים כפל מימין ב-i וחצים ירוקים מייצגים כפל מימין ב-j.

חבורת הקווטרניונים היא חבורה לא אבלית מסדר 8. מקובל לסמן את החבורה Q8 או פשוט Q.

ניתן להציג את החבורה כך: . זוהי הצגה נוחה, אך בזבזנית של Q. למעשה החבורה נוצרת גם על ידי שני איברים בלבד, וניתן להציגה כ-. x, y הם כל שניים מבין i, j, k. לוח הכפל של החבורה הוא:

× 1 −1 i −i j −j k −k
1 1 −1 i −i j −j k −k
−1 −1 1 −i i −j j −k k
i i −i −1 1 k −k −j j
−i −i i 1 −1 −k k j −j
j j −j −k k −1 1 i −i
−j −j j k −k 1 −1 −i i
k k −k j −j −i i −1 1
−k −k k −j j i −i 1 −1

חברות הקווטרניונים עומדת בבסיס אלגברת הקווטרניונים של המילטון . האחרונה היא אוסף הצירופים הלינאריים מעל הממשיים של איברי חבורת הקווטרניונים. כלומר: .

הצגה לינארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורת הקווטרניונים ניתנת להצגה לינארית כתת חבורה של , החבורה הלינארית המיוחדת מסדר 2 מעל המרוכבים, הכוללת את איברי החבורה הלינארית הכללית שהדטרמיננטה שלהם היא 1:

הצגה נוספת של Q היא כתת-חבורה של , חבורת המטריצות 2×2 מעל השדה הסופי מסדר 3 (שאיבריו הם ):

הצגה זו מראה ש-Q היא תת חבורה נורמלית מאינדקס 3 של (שהסדר שלה הוא 24).

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורת הקווטרניונים היא החבורה הקטנה ביותר שהיא המילטונית - חבורה לא אבלית שכל התת-חבורות שלה הן נורמליות. כל חבורה המילטונית מכילה את חבורת הקווטרניונים.

המרכז של החבורה הוא {1, −1}. חבורת המנה ביחס למרכז וחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של חבורת הקווטרניונים איזומורפיות לחבורת הארבעה של קליין. חבורת האוטומורפיזם הכללית איזומורפית לחבורה הסימטרית S4 וחבורת האוטומורפיזם החיצונית ל-S3.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]