משפטי סילו

משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p מקסימליות של חבורה סופית. חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני $p$ נקראות חבורות p, וכולן נילפוטנטיות. משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.

את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה $n=1$.

במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה $H$ של $G$ חייב לחלק את הסדר של $G$. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק $q$ של הסדר של $G$ שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר $q$. משפטי סילו קובעים גם שכל תת-החבורות שסדרן הוא חזקת-$p$ מקסימלית, צמודות זו לזו.

הגדרות

אם $p$ הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית $G$, אז קיימת חזקה מקסימלית של $p$ המחלקת את הסדר. כלומר $p^{n}$ מחלק את סדר החבורה, אבל $p^{n+1}$ אינו מחלק. לתת-חבורה של $G$ שסדרה שווה ל-$p^{n}$ קוראים חבורת p-סילו של $G$. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת $p$-סילו היא תת-חבורה של $G$ שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-$p$.

לדוגמה, אם $|G|=24=2^{3}\cdot 3$ אז תת-חבורה מסדר $3$ היא חבורת $3$-סילו של $G$, ותת-חבורה מסדר $8$ היא חבורת $2$-סילו של $G$.

ניסוח המשפטים

נניח ש-$G$ חבורה סופית וש-$p^{n}$ היא חזקה מקסימלית של ראשוני $p$ המחלקת את הסדר של $G$. נסמן ב-$n_{p}$ את מספרן של חבורות p-סילו השונות של $G$. נציין מיד שאם $P$ חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות $p$-סילו.

משפט סילו הראשון

לכל חבורה $G$ קיימת חבורת $p$-סילו. (דהיינו $n_{p}>0$).

הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת $p$ המחלקת את הסדר של $G$, לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה.

משפט סילו השני

כל חבורות $p$-סילו של $G$ צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורה של $G$, שהיא חבורת $p$, מוכלת באיזושהי חבורת $p$-סילו של $G$.

מסקנה

חבורת $p$-סילו היא יחידה (כלומר $n_{p}=1$) אם ורק אם היא תת חבורה נורמלית של $G$.

משפט סילו השלישי

מספרן של חבורות $p$-סילו של $G$ שקול לאחת מודולו $p$. כלומר $n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}$.

מסקנה

$n_{p}$ מחלק את הסדר של $G$. אם נסמן $|G|=p^{n}m$ (כאשר n מקסימלי), נובע מכך ש-$n_{p}$ מחלק את $m$, משום שלפי משפט סילו השלישי $n_{p}$ זר ל־$p$.

הוכחה: מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה $H$ של $G$ שווה לאינדקס של המנרמל של $H$ ב-$G$, שהוא תת-חבורה המכילה את $H$. אבל המנרמל מכיל את $H$, לכן האינדקס שלו מחלק את זה של $H$, וממילא הוא זר ל-$p$.

דוגמה לשימוש

נראה שלכל חבורה $G$ מסדר $105$ מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. $105=3\cdot 5\cdot 7$, ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר $3$, $5$ ו-$7$. מספרן של החבורות מסדר $3$ שקול ל-$1$ מודולו $3$ ומחלק את $35$ - ולכן הוא $1$ או $7$. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר $5$ הוא $1$ או $21$, ושל אלו מסדר $7$ הוא $1$ או $15$. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש $7$ חבורות מסדר $3$, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן $7\cdot (3-1)=14$ איברים מסדר $3$. באופן דומה יש $84$ איברים מסדר $5$ ו-$90$ מסדר $7$. ביחד יותר מ-$105$, וזה בלתי אפשרי.

הוכחות

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של $G$. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של $G$ על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון.

הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב-$X$ את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל $p^{n}$ של $G$. מכיוון ש-$|X|={|G| \choose p^{n}}={p^{n}m \choose p^{n}}$, קל לחשב ש-$p$ אינו מחלק את העוצמה של $X$. החבורה פועלת על $X$ על ידי כפל משמאל: $g\colon B\mapsto gB=\{gb:b\in B\}$.

מכיוון שהגודל של $X$ אינו מתחלק ב-$p$, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של $G$, שגודלו אינו מתחלק ב-$p$. תהי $B\in X$ נקודה באותו מסלול; נבחר $b\in B$, אז גם $b^{-1}B$ היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של $G$. לכן אפשר להניח ש- $1\in B$. מצד אחד, המייצב של $B$ מוכל ב-$B$ (שהרי $x\in xB=B$), ולכן גודלו $p^{n}$ לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את $p^{n}m$, אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל-$p$ ומחלק את $m$. יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל-$p^{n}$, ואם כך הוא שווה ל-$B$; אבל אז $B$ היא חבורת $p$-סילו.

כעת נסמן ב-$S$ את אוסף חבורות p-סילו של $G$; המשפט הראשון טוען ש-$S$ אינה ריקה. החבורה $G$ פועלת על $S$ לפי הצמדה.

טענה. אם תת-קבוצה $T$ של $S$ סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל-$1$ מודולו $p$.

הוכחה. ברור שכל חבורת $p$-סילו היא תת-חבורת-$p$ מקסימלית. לכן, אם $P,Q$ שתיהן חבורות p-סילו, אז $PQ$ אינה תת-חבורה של $G$ (אחרת סדרה היה שווה ל- ${\frac {|P|\cdot |Q|}{|P\cap Q|}}$, וזו חזקת-$p$ גדולה מדי). מכאן יוצא ש-$Q$ אינה יכולה לנרמל את $P$ (אחרת $PQ=QP$ היא תת-חבורה).

כעת תהי $P$ חבורת $p$-סילו; בתור תת-חבורה של $G$, גם $P$ פועלת על $S$ בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על $T$. גודלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של $P$, ולכן הם כולם חזקות של $p$. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם $1$, ואלה שגודלם מתחלק ב-$p$. אם $Q$ היא נקודה יחידה במסלול, אז $P$ מנרמלת את $Q$, וזה בלתי אפשרי - אלא אם $Q=P$. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו $1$, והוא המסלול המכיל את $P$ בלבד. גודלי שאר המסלולים מתחלקים ב-$p$, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של $T$) שקול ל-$1$ מודולו $p$.

הוכחת המשפט השלישי. מספיק לבחור $T=S$ בטענה.

הוכחת המשפט השני. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-$1$ מודולו $p$. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.

קישורים חיצוניים

• משפטי סילו, באתר MathWorld (באנגלית)