חבורת p

בתורת החבורות, חבורת-p היא חבורה שהסדר של כל איבר בה הוא חזקה של $p$. קיימת מחלקה כזו של חבורות לכל מספר ראשוני $p$, והן נקראות, בהתאמה, חבורות-2, חבורות-3, חבורות-5, וכן הלאה. לפי משפט קושי, חבורה סופית היא חבורת-p אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של $p$.

התאוריה של חבורות-p היא מרכיב חשוב בתורת החבורות הסופיות, משום שכל חבורה סופית מכילה תת-חבורות-p (כל תת-חבורת-p מקסימלית של חבורה סופית היא מאינדקס זר ל-p: משפטי סילו). מאידך, המיון השלם של חבורות-p קשה, ומספרן גדל בקצב על-אקספוננציאלי.

מבנה

שוויון המחלקות מראה שהמרכז של חבורת-p הוא לא-טריוויאלי. מכאן נובע (באינדוקציה על סדר החבורה) שהמנרמל של כל תת-חבורה אמיתית של חבורת-p, מכיל אותה ממש.

כל מכפלה ישרה של חבורות-p סופיות (גם לערכים שונים של $p$) היא חבורה נילפוטנטית, וגם ההפך נכון: כל חבורה נילפוטנטית סופית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות-סילו שלה.

חבורת-p נקראת חזקה (powerful) אם תת-החבורה הנוצרת על-ידי החזקות $x^{p}$ (או $x^{4}$ אם p=2) מכילה את תת-חבורת הקומוטטורים.

מספרן של חבורות-p

עבור מספרים מאותו סדר גודל, מספר החבורות (עד כדי איזומורפיזם) מסדר $n$ הוא הגדול ביותר כאשר $n$ הוא חזקה של ראשוני. לדוגמה, יש 15 חבורות לא איזומורפיות מסדר 16 (לעומת 28 מכל הסדרים עד 15 גם יחד), 2328 חבורות מסדר 128 ו-56092 מסדר 256. Graham Higman (1960) ו-Sims (1965) הוכיחו שמספר החבורות מסדר $p^{n}$ גדל כמו $p^{2n^{3}/27}$.

יש חבורה יחידה מכל סדר $p$; 2 חבורות מסדר $p^{2}$; 5 חבורות מסדר $p^{3}$; ו-15 חבורות מסדר $p^{4}$. מספר החבורות מסדר $p^{5}$ הוא $2p$ ועוד גורם בגודל חסום התלוי ב-$p$; מספר החבורות מסדר $p^{6}$ הוא $3p^{2}$ ועוד גורם ליניארי התלוי ב-$p$; מספר החבורות מסדר $p^{7}$ הוא $3p^{5}$ ועוד גורם ממעלה רביעית התלוי ב-$p$. חישובים אלה, שנערכו בדייקנות, הביאו את Higman לשער השערה שנודעה בשם "The PORC conjecture" (על-שם ראשי התיבות Polynomials On Residue Classes), שלפיה לכל $n$ יש $N$ גדול מספיק כך שמספר החבורות מסדר $p^{n}$ (עבור $p$ גדול מספיק) הוא פולינום מסוים של $p$, התלוי ב-$p{\pmod {N}}$ בלבד.

החבורות מכל סדר $p^{n}$, עבור $n\leq 7$ (וכאשר $p=2$, עבור $n\leq 9$) מויינו באופן מלא. יש $49478365422$ חבורות מסדר $2^{10}$.

אוטומורפיזמים

משערים שאם $P$ חבורת-p מסדר שאינו $p$ או $p^{2}$, אז הסדר של חבורת האוטומורפיזמים $|\operatorname {Aut} (P)|$ מתחלק בזה של $P$. חבורת האוטומורפיזמים החיצונית של חבורת-p לא אבלית תמיד כוללת איבר מסדר $p$ (Gashutz, 1966). השאלה האם תמיד קיים אוטומורפיזם חיצוני (כלומר אוטומורפיזם שאינו פנימי) מסדר p עודנה פתוחה.

חבורת פרטיני והצגות לפי יוצרים ויחסים

חבורת פרטיני $\Phi (P)$ של חבורת-p $P$ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן $P/\Phi (P)$ היא מהצורה $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{d}$ עבור $d$ מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי $d$ איברים, אבל לא פחות. המנה $P/\Phi (P)$ איזומורפית לחבורת ההומולוגיה הראשונה: $H_{1}(P,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\cong P/\Phi (P)$. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה $H_{2}(P,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$: גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי r בהצגה של החבורה (מקור: Serre, Galois Cohomology, סעיף I.4.3).

משפט גולוד-שפרביץ' קובע שבחבורת-p סופית, r>d^2/4.

אלגברת החבורה

בעיית האיזומורפיזם המודולרי (האם אלגברת החבורה $\ \mathbb {F} _{p}[P]$, כאשר $P$ היא חבורת-p, קובעת את $P$ עד-כדי איזומורפיזם) נפתרה לשלילה: ראו אלגברת חבורה.

ראו גם

• משפטי סילו
• חבורה פרו-p

קישורים חיצוניים

• חבורת p, באתר MathWorld (באנגלית)