חוג דדקינד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובעיקר באלגברה, תורת המספרים וגאומטריה אלגברית, חוג דדקינד הוא תחום שלמות נותרי נורמלי שבו כל אידאל ראשוני שונה מאפס הוא מקסימלי. המבנה נקרא על שמו של ריכרד דדקינד.

הדוגמה הבולטת לחוגי דדקינד היא אוסף המספרים השלמים בשדה מספרים, ומכאן התפקיד המרכזי שיש להם בתורת המספרים האלגברית. לאידאלים הראשוניים בחוג דדקינד יש תפקיד דומה לזה שמעניק המשפט היסודי של האריתמטיקה למספרים הראשוניים בחוג המספרים השלמים: כל אידאל (שונה מאפס) אפשר לכתוב באופן יחיד כמכפלה של אידאלים ראשוניים. כל תחום שלמות בעל תכונה זו הוא חוג דדקינד.

הגדרות שקולות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התפקיד המרכזי של חוגי דדקינד באלגברה קומוטטיבית מאפשר לאפיין אותם בדרכים רבות, המספקות מספר הגדרות חלופיות. תחום שלמות הוא חוג דדקינד אם:

  • הוא נותרי ובעל ממד קרול 1, וכל אידאל פרימרי הוא חזקה של אידאל ראשוני;
  • הוא נותרי, והמיקום ביחס לכל אידאל ראשוני הוא תחום הערכה דיסקרטית (כלומר, תחום ראשי מקומי);
  • הוא "פירוקי" (כלומר - כל אידאל הוא מכפלה של אידאלים ראשוניים באופן יחיד עד כדי סדר);
  • הוא נותרי, וכל אידאל מקסימלי הוא הפיך;
  • כל אידאל ראשוני (שונה מאפס) הוא הפיך;
  • כל אידאל שונה מאפס הוא הפיך;
  • כל אידאל הוא פרויקטיבי.

(קיימות הגדרות שקולות רבות אחרות).

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל תחום ראשי הוא חוג דדקינד (ההיפך אינו נכון). בפרט, חוג המספרים השלמים וכל חוג פולינומים \ F[X] במשתנה אחד מעל שדה \ F, הם חוגי דדקינד.

גם חוג השלמים של גאוס, \ \{a+bi\ |\ a,b \in \mathbb{Z}\}, הוא חוג דדקינד. באופן כללי יותר, אוסף השלמים האלגבריים בשדה מספרים הוא חוג דדקינד.

הרחבות וקשרים לחוגים אחרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוגי דדקינד אפשר להרחיב בכמה אופנים.

  1. אם R חוג דדקינד ו- F שדה שברים שלו, ו- K הרחבת שדות סופית של F, אז הסגור השלם של R בתוך K הוא חוג דדקינד.
  2. אם S תת-מונואיד של חוג דדקינד R, אז המיקום \ S^{-1}R הוא חוג דדקינד (או שדה).

כל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה, אבל ההיפך אינו נכון (למשל, חוג הפולינומים בשני משתנים x,y מעל שדה הוא תחום פריקות יחידה, אבל האידאל \ \langle x,y \rangle אינו ראשי). בחוגי דדקינד שתי התכונות שקולות: חוג דדקינד הינו תחום פריקות יחידה אם ורק אם הוא תחום ראשי.

חוגי דדקינד הם "כמעט ראשיים" בכמה מובנים. למשל, כל אידאל של חוג דדקינד נוצר על ידי שני אברים לכל היותר. יתרה מזו: אם \ 0 \ne J \subset I \subset R אידאלים בחוג דדקינד, אז קיים \ a\in R כך ש-\ I=J+Ra. לכל אידאל I בחוג דדקינד, קיים אידאל J כך שהמכפלה IJ היא אידאל ראשי. (יותר מזה, ניתן לבחור \ J להיות זר לכל אידאל \ A; או כך ש-\ Ra = IJ לכל עבור \ a איבר ב-\ I). חוג דדקינד בעל מספר סופי של אידאלים ראשוניים הוא ראשי. אם חבורת המחלקות (ראו להלן) סופית, אפשר להפוך את החוג לראשי באמצעות היפוך של איבר אחד.

חבורת מחלקות האידאלים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורת המחלקות של חוג דדקינד \ R מודדת עד כמה החוג אינו ראשי. יהי K שדה השברים של R. אידאל שברי של \ R הוא, על-פי ההגדרה, \ R-תת-מודול \ I של \ K כך שעבור \ d\in R מתאים, מתקיים \ dI=\{da | a \in I \} \subset R. למשל, כל אידאל (רגיל) של R הוא גם אידאל שברי.

נסמן ב-\ Id(R) את קבוצת האידאלים השבריים. בקבוצה זו אפשר להגדיר פעולת כפל כרגיל בכפל של אידאלים. כך הופכת קבוצה זו למונואיד, שבו איבר היחידה הוא החוג עצמו. מכיוון שכל אידאל שברי הוא אידאל הפיך, זוהי חבורה אבלית - ומתכונת הפירוק היחיד של אידאלים נובע שהיא חבורה אבלית חופשית הנוצרת על ידי אוסף האידאלים הראשוניים של החוג. (אמי נתר הוכיחה שתחום שלמות שלקבוצת האידאלים השברים שלו עם פעולת הכפל יש מבנה של חבורה - הינו חוג דדקינד).

קבוצת האידאלים השבריים הראשיים, שלהם הצורה \ bR = \{ ba \ | \ a \in R \} עבור 0\ne b\in K, היא תת-חבורה של \ Id(R). חבורת מחלקות האידאלים \ Cl(R) של \ R היא חבורת המנה של \ Id(R) ביחס לחבורת האידאלים הראשיים.

חבורת המחלקות היא טריוויאלית בדיוק כאשר כל אידאל (שברי) הוא ראשי - כלומר, כאשר החוג ראשי. במקרים רבים (למשל, עבור חוגי שלמים של שדה מספרים), החבורה סופית.

נניח שחבורת מחלקות האידאלים של \ R היא סופית. נבחר נציגים \ I_1,...,I_m של מחלקות האידאלים (ניתן לבחור אותם להיות אידאלים אמיתיים של R); ניקח \ b\neq 0 איבר כלשהו ב- \ \cap I_i, ו- \ S = \{1,b,b^2, ... \} המונואיד הנוצר על ידי b. אז \ S^{-1}R הוא תחום ראשי.

מודולים מעל חוג דדקינד[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל מודול נוצר סופית מעל חוג דדקינד אפשר לפרק כסכום ישר של מודול מפותל ומודול חסר פיתול. מודול חסר פיתול הוא סכום ישר של אידאלים שבריים. אם \,A_i אידאלים שבריים, הסכום \ A_1\oplus \cdots \oplus A_m תלוי רק בדרגה m ובמכפלה \ A_1\dots A_m בחבורת המחלקה. בפרט, כל מודול חסר פיתול ונוצר סופית מעל R הוא מהצורה \ R^n\oplus I, כאשר I אידאל שלם של R.

אם \ N\subseteq M מודולים כנ"ל מאותה דרגה, אז קיימים \ e_1,\dots,e_m \in M, אידאלים שבריים \ A_1,\dots,A_m, ואידאלים שלמים \ I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots \supseteq I_m, כך ש- \ M=a_1e_1 \oplus\cdots\oplus a_me_m ו- \ N=a_1I_1e_1 \oplus\cdots\oplus a_mI_me_m. האידאלים \ I_i נקבעים באופן חד-משמעי, והם נקראים הגורמים האינווריאנטיים של N ב-M.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • J.S. Milne Algebraic Number Theory, 1998, http://www.jmilne.org/math
  • Louis Halle Rowen Graduate Algebra: Commutative View, Graduate Studies in Mathematics, Volume 73, 2006, ISBN 0-8218-0570-3
  • Curtis, C., and Reiner, I., Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, 1962, III, 22


חוגים

חוג עם חילוקתחום שלמותתחום ראשיחוג נותריחוג ארטיניחוג הערכה דיסקרטיתחוג דדקינדתחום פריקת חד ערכיתשדה שבריםאידאלאידאל ראשיאידאל ראשוניאידאל מקסימליאידאל מינימליספקטרום של חוג