תחום הערכה (תורת החוגים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף חוג הערכה)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, תחום הערכה הוא תחום שלמות המכיל, לכל איבר בשדה השברים שלו, את האיבר או את ההפכי שלו. חוגי הערכה הם המסגרת האלגברית לטיפול בהערכות של שדות.

הקשר להערכות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ \nu : F^{\times} \rightarrow \Gamma הערכה לא ארכימדית (כאשר \ \Gamma חבורה אבלית סדורה לינארית), אז אוסף האברים \ \mathcal{O}_{\nu} = \{x\in F: \nu(x) \geq 0\} הוא תחום הערכה; ולהיפך, כל תחום הערכה הוא בעל מבנה כזה, והוא אף קובע את ההערכה המתאימה לו (עד כדי איזומורפיזם של חבורת הערכים).

אם ההערכה לעיל דיסקרטית, חוג ההערכה המתאים לה הוא תחום הערכה דיסקרטית. מבחינה אלגברית, האחרונים מתאפיינים בכך שהם נותריים.

כל תת-חוג נורמלי (כלומר, שלם אלגברית) של שדה הוא חיתוך חוגי ההערכה המכילים אותו. לכן, לכל איבר של שדה השברים הנמצא מחוץ לחוג כזה D, יש הערכה של השדה המזהה את אברי D כשלמים, ואת האיבר כלא-שלם.

מבנה אלגברי[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל תחום הערכה הוא תחום בזו מקומי, ולהיפך: תחום בזו מקומי הוא תחום הערכה. תחומי הערכה מתאפיינים גם בכך שקבוצת האידאלים שלהם סדורה לינארית (וגם בכך שקבוצת האידאלים הראשיים שלהם סדורה לינארית).

מן ההגדרה ברור שהתכונה להיות תחום הערכה סגורה להגדלת החוג בתוך שדה השברים שלו. למעשה, אם R תחום הערכה ו-Fשדה השברים שלו, אז יש התאמה בין תת-החוגים של F המכילים את R לבין האידאלים הראשוניים של R, המשייכת חוג לאידאל המקסימלי שלו, ואידאל P למיקום \ A_P.

בתחום הערכה, כל רדיקל הוא אידאל ראשוני.

חוגי הערכה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל חוג קומוטטיבי (עם יחידה) שקבוצת האידאלים שלו סדורה לינארית, נקרא חוג הערכה (כך, תחום הערכה אינו אלא חוג הערכה שהוא תחום שלמות). מחלקה זו של חוגים סגורה לתמונות הומומורפיות.