תחום הערכה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, תחום הערכה הוא תחום שלמות המכיל, לכל איבר בשדה השברים שלו, את האיבר או את ההפכי שלו. חוגי הערכה הם המסגרת האלגברית לטיפול בהערכות של שדות.

הקשר להערכות

אם $\nu :F^{\times }\rightarrow \Gamma$ הערכה לא ארכימדית (כאשר $\Gamma$ חבורה אבלית סדורה ליניארית), אז אוסף האיברים ${\mathcal {O}}_{\nu }=\{x\in F:\nu (x)\geq 0\}$ הוא תחום הערכה; ולהפך, כל תחום הערכה הוא בעל מבנה כזה, והוא אף קובע את ההערכה המתאימה לו (עד כדי איזומורפיזם של חבורת הערכים).

כל תת-חוג נורמלי (כלומר, שלם אלגברית) של שדה הוא חיתוך חוגי ההערכה המכילים אותו. לכן, לכל איבר של שדה השברים הנמצא מחוץ לחוג כזה $D$, יש הערכה של השדה המזהה את אברי $D$ כשלמים, ואת האיבר כלא-שלם.

תחום הערכה הוא נתרי אם ורק אם חבורת הערכים $\Gamma$ היא ציקלית. תחום הערכה נתרי נקרא תחום הערכה דיסקרטית.

תחום הערכה מקומית (כלומר תחום שלמות R כך שכל מיקום באידיאל ראשוני $R_{P}$ הוא תחום הערכה) נקרא תחום פרופר.

מבנה אלגברי

כל תחום הערכה הוא תחום בזו מקומי, ולהפך: תחום בזו מקומי הוא תחום הערכה. תחומי הערכה מתאפיינים גם בכך שקבוצת האידיאלים שלהם סדורה ליניארית (וגם בכך שקבוצת האידיאלים הראשיים שלהם סדורה ליניארית).

מן ההגדרה ברור שהתכונה להיות תחום הערכה סגורה להגדלת החוג בתוך שדה השברים שלו. בפרט, כל מיקום של חוג הערכה הוא בעצמו חוג הערכה. למעשה, אם $R$ תחום הערכה ו-$F$ שדה השברים שלו, אז יש התאמה בין תת-החוגים של $F$ המכילים את $R$ לבין האידיאלים הראשוניים של $R$, המשייכת חוג לאידיאל המקסימלי שלו, ואידיאל $P$ למיקום $A_{P}$. כל מנה ראשונית של תחום הערכה היא תחום הערכה.

בתחום הערכה, כל רדיקל הוא אידיאל ראשוני.

תחום שלמות $R$ הוא סגור בשלמות (integrally closed) אם ורק אם הוא חיתוך של תחומי הערכה.

חוגי הערכה

כל חוג קומוטטיבי (עם יחידה) שקבוצת האידיאלים שלו סדורה ליניארית, נקרא חוג הערכה (כך, תחום הערכה אינו אלא חוג הערכה שהוא תחום שלמות). מחלקה זו של חוגים סגורה לתמונות הומומורפיות.

קישורים חיצוניים

• תחום הערכה, באתר MathWorld (באנגלית)