חוג ראשוני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, חוג ראשוני הוא חוג שבו המכפלה של כל שני אידיאלים שונים מאפס, שונה מאפס. מחלקת החוגים הראשוניים היא בעלת תפקיד מרכזי בתורת החוגים, משום שהיא רחבה מאד, ואפשר להיעזר בה, דרך מנות ביחס לאידיאלים ראשוניים ומכפלות תת-ישרות, כדי לנתח חוגים כלליים.

בחוג ראשוני כל שני אידיאלים שונים מאפס נחתכים באופן לא טריוויאלי (הטענה נכונה גם כשאחד מהם הוא אידיאל חד-צדדי). לכן אלו הם בדיוק החוגים שאינם ניתנים לפירוק בעזרת משפט השאריות הסיני.

בין החוגים הקומוטטיביים, חוג הוא ראשוני אם ורק אם הוא תחום שלמות. באופן כללי יותר, המרכז של כל חוג ראשוני הוא תחום שלמות.

חוג מטריצות מעל חוג ראשוני הוא חוג ראשוני. לפי משפט פוזנר[1], חוג ראשוני המקיים זהות פולינומית ניתן לשיכון בחוג מטריצות מעל אלגברת חילוק מממד סופי מעל המרכז שלו.

אידיאלים ראשוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכל חוג R, אידיאל P הוא אידיאל ראשוני אם חוג המנה ראשוני. לכן אפס הוא אידיאל ראשוני של R אם ורק אם R ראשוני בעצמו. יש כמה תכונות שקולות לכך שאידיאל הוא ראשוני: אם P מכיל מכפלה של שני אידיאלים, הוא מוכרח להכיל אחד מהם; אם P מכיל מכפלה של שני אידיאלים שמאליים, הוא מוכרח להכיל אחד מהם.

אידיאל המתקבל מחיתוך אידיאלים ראשוניים הוא ראשוני למחצה. לחלופין, אידיאל הוא ראשוני למחצה אם חוג המנה ביחס אליו הוא ראשוני למחצה.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ [1]