חוק האפס-אחד של קולמוגורוב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב.[1] המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מניה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים. כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך.

ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסח ראשון: יהי מרחב הסתברות, ותהי קבוצה בת-מניה של משתנים מקריים בלתי-תלויים.[2]

נגדיר "מאורע זנב" להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך .[3]

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב , מתקיים או .

נוסח שני: יהי מרחב הסתברות, ותהי קבוצה בת-מניה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב- ובלתי-תלויות.[4]

עבור , נגדיר , ונתבונן בסיגמא-אלגברת הזנב, .[5] מאורעות מכונים "מאורעות זנב".

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע מתקיים או .

הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת , כלומר היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה מדיד.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי. עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו.

למה: תהי אלגברה של קבוצות על . תהי .

אזי לכל , לכל קיימת , כך שמתקיים .

הוכחה בקצרה: ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את , ולכן היא מכילה את .

נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד.

עבור נגדיר , ונגדיר . נשים לב כי היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות, ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים .

בהינתן מאורע , מהלמה נובע כי לכל יש מאורע שעבורו מתקיים , כלומר .

יהי שעבורו . נשים לב כי , ולכן בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי .

אבל שרירותי, ולכן נובע כי , כלומר או .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן במרחב , עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה (כאשר הוא הקואורדינטה ה- של ), עבור כלשהו.

נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות לכל ולכל . ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן.

עבור נגדיר , ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים .

אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב:

  • לאיזשהו

היארעות-תדירה והקשר ללמה השנייה של בורל-קנטלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן כללי יותר, אם אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1.

הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות .

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ המשפט פורסם בספרו של קולמגורוב, המופיע בפרק "לקריאה נוספת".
  2. ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית , לכל קבוצת מאורעות , מתקיים כי .
  3. ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית , עבור , מתקיים כי .
  4. ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית , לכל קבוצת מאורעות , מתקיים כי .
  5. ^ חיתוך של סיגמא-אלגבראות הוא סיגמא-אלגברה.