בגאומטריה , חיתוך הוא אוסף הנקודות המשותפות לשתי צורות גאומטריות (או ליותר משתיים). זהו מימוש בגאומטריה של המושג המתמטי הרחב יותר חיתוך .
החיתוך יכול להיות הקבוצה הריקה , למשל החיתוך בין שני ישרים מקבילים , או מממד כלשהו. דוגמאות:
חיתוך מתקיים גם בין יותר משתי צורות גאומטריות. במשולש שלושת התיכונים נחתכים בנקודה אחת, וכך גם שלושת הגבהים ושלושת חוצי הזוויות .
שני ישרים נחתכים בנקודה אחת כאשר נתונים שני ישרים, שמשוואותיהם הן:
a
1
x
+
b
1
y
=
c
1
,
a
2
x
+
b
2
y
=
c
2
{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}
נוסחת קרמר , הקואורדינטות של נקודת החיתוך
(
x
s
,
y
s
)
{\displaystyle (x_{s},y_{s})}
x
s
=
c
1
b
2
−
c
2
b
1
a
1
b
2
−
a
2
b
1
,
y
s
=
a
1
c
2
−
a
2
c
1
a
1
b
2
−
a
2
b
1
{\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}}
כאשר
a
1
b
2
−
a
2
b
1
=
0
{\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0}
חיתוך בין שני קטעים. מימין: הקטעים אינם נחתכים. משמאל: הקטעים נחתכים. כאשר נתונים שני קטעים ,
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}
(
x
3
,
y
3
)
,
(
x
4
,
y
4
)
{\displaystyle (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})}
(
x
(
s
)
,
y
(
s
)
)
=
(
x
1
+
s
(
x
2
−
x
1
)
,
y
1
+
s
(
y
2
−
y
1
)
)
,
{\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1})),}
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
=
(
x
3
+
t
(
x
4
−
x
3
)
,
y
3
+
t
(
y
4
−
y
3
)
)
.
{\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3})).}
שני הקטעים נחתכים בנקודה משותפת
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
s
0
,
t
0
{\displaystyle s_{0},t_{0}}
0
≤
s
0
,
t
0
≤
1
{\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}
s
0
,
t
0
{\displaystyle s_{0},t_{0}}
s
(
x
2
−
x
1
)
−
t
(
x
4
−
x
3
)
=
x
3
−
x
1
{\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1}}
s
(
y
2
−
y
1
)
−
t
(
y
4
−
y
3
)
=
y
3
−
y
1
{\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}}
הצבת הערכים
s
0
{\displaystyle s_{0}}
t
0
{\displaystyle t_{0}}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
דוגמה: לקטעים
(
1
,
1
)
,
(
3
,
2
)
{\displaystyle (1,1),(3,2)}
(
1
,
4
)
,
(
2
,
−
1
)
{\displaystyle (1,4),(2,-1)}
2
s
−
t
=
0
{\displaystyle 2s-t=0}
s
+
5
t
=
3
{\displaystyle s+5t=3}
שפתרונה
s
0
=
3
11
,
t
0
=
6
11
{\displaystyle s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}}
(
17
11
,
14
11
)
{\displaystyle ({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})}
חיתוך בין ישר ומעגל למציאת נקודות החיתוך של הישר
a
x
+
b
y
=
c
{\displaystyle ax+by=c}
x
2
+
y
2
=
r
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
x
{\displaystyle \ x}
y
{\displaystyle \ y}
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}
x
1
/
2
=
a
c
±
b
r
2
(
a
2
+
b
2
)
−
c
2
a
2
+
b
2
{\displaystyle x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}}
y
1
/
2
=
b
c
∓
a
r
2
(
a
2
+
b
2
)
−
c
2
a
2
+
b
2
{\displaystyle y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}}
כאשר
r
2
(
a
2
+
b
2
)
−
c
2
≥
0
{\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}\geq 0}
r
2
(
a
2
+
b
2
)
−
c
2
>
0
{\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}>0}
מיתר במעגל. כאשר
r
2
(
a
2
+
b
2
)
−
c
2
=
0
{\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0}
משיק למעגל. כאשר
r
2
(
a
2
+
b
2
)
−
c
2
<
0
{\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}<0}
חיתוך בין שני מעגלים. הקן האדום הוא הציר הרדיקלי שלהם הצורה המתקבלת מחיתוך של שני מעגלים קרויה עדשה . כאשר שני המעגלים הם בעלי אותו רדיוס , והמרכז של כל אחד מהם נמצא על היקפו של האחר, העדשה המתקבלת קרויה וסיקה פיסקיס .
חיתוך בין ישר ומישור ישר שאינו מקביל למישור ואינו מוכל במישור חותך את המישור בנקודה אחת. הישר במרחב מוצג פרמטרית
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
)
{\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}
a
x
+
b
y
+
c
z
=
d
{\displaystyle ax+by+cz=d}
a
x
(
t
)
+
b
y
(
t
)
+
c
z
(
t
)
=
d
{\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d}
לפרמטר
t
0
{\displaystyle t_{0}}
(
x
(
t
0
)
,
y
(
t
0
)
,
z
(
t
0
)
)
{\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}
כאשר למשוואה אין פתרון, הישר מקביל למישור או מוכל בו.
