חלוקת פולינומים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה, חלוקת פולינומים או חלוקת פולינומים עם שארית או חלוקה אוקלידית, היא אלגוריתם לחלוקת פולינום בפולינום אחר שדרגתו[1] קטנה מזו של המחולק או שווה לשלו. למעשה, אלגוריתם זה מהווה הכללה לאלגוריתם החילוק הארוך באריתמטיקה. בדומה לחילוק האריתמטי, גם חילוק פולינומים מפרק בעיה מתמטית, העשויה להיות מסובכת, לתתי-בעיות פשוטות יותר, ולכן, הוא פשוט ונוח לשימוש באופן יחסי. זאת ועוד, קיימות גם שיטות המקצרות את תהליך חלוקה זה, כדוגמת חלוקה סינתטית[2].

האלגוריתם מיישם הלכה למעשה את תכונת הפולינומים הבאה. בהינתן (מחולק) ו- (מחלק) כך ש- ובניסוח מדויק, , ניתן לבטא את כ- עבור פולינום שיקרא המנה ועבור פולינום שיקרא שארית החלוקה, כך שדרגת השארית קטנה (ממש) מדרגת המחלק , כלומר .

התוצאה תופיע אם ורק אם הוא גורם של , כלומר, ניתן לרשום את כמכפלה של הפולינום בפולינום אחר. בנוסף, על פי המשפט הקטן של בזו, אם הוא שורש של , דהיינו , אזי הוא גורם של . לכן, נעשה שימוש נרחב בחלוקת פולינומים הן על מנת לפרק את הפולינום לגורמים והן על מנת לפשט את הליך מציאת השורשים הנוספים שלו, אם אחד מהם כבר ידוע[3].

דוגמה לאופן פעולת האלגוריתם[עריכת קוד מקור | עריכה]

נמצא את מנת החלוקה ואת השארית שלה עבור חלוקת הפולינום (המחולק) בפולינום (המחלק).

תחילה, נכתוב מחדש את המחולק באופן הבא:

.

כעת, נבצע את התהליך דלהלן:

נחלק את האיבר הראשון של באיבר הראשון של , דהיינו, את האיבר בעל החזקה המקסימלית של באיבר בעל החזקה המקסימלית של . במקרה זה, מדובר ב-. את התוצאה, נכתוב מעל לקו האופקי:

  • נכפול את כל איברי המחלק בתוצאה שקיבלנו זה עתה, ונקבל . נכתוב את התוצאה תחת האיברים הראשונים של המחולק:
  • נחסר את התוצאה שרשמנו מהאיברים שמעליה ומיד לאחר מכן, נעתיק מטה את האיבר הראשון מימין לאיברי המחלק שביצענו עליהן כעת פעולה.
  • נבצע כעת שוב את אותה סדרת פעולות עבור הפולינום החדש שהתקבל מההפרש ומהוספת האיבר הנוסף.
  • כעת, לא ניתן להעתיק מטה אף איבר. נסיים את התהליך.

הפולינום שהתקבל מעל לקו האופקי הוא המנה והפולינום, במקרה זה ממעלה 0[4], שנותר אחרי הפעולה האחרונה, הוא השארית . לכן, קיבלנו כי .

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פירוק פולינומים לגורמים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן פולינום, לעיתים, שורש אחד או יותר שלו כבר ידועים אך ייתכן כי קיימים לו כאלו נוספים. אם ידוע כי הוא שורש של פולינום - פולינום ממעלה , כלומר מתקיים כי , ניתן לחלק את ב- ומהמשפט הקטן של בזו נובע כי שארית החלוקה היא 0. לכן, נקבל במקרה זה כי עבור , כלומר דרגת המנה היא . בחלק מהמקרים, הפולינום הוא כזה שקל יותר למצוא את שורשיו. מאחר שכל שורש שלו הוא גם שורש של , הרי שבכך יועל תהליך מציאת השורשים של הפולינום המקורי.

באופן דומה, אם ידועים יותר משורש אחד של הפולינום, לדוגמה, ידוע כי שורשים שלו, ניתן לחלק את הפולינום ב- ולקבל . כעת, ניתן לחלק את ב- ולקבל כי כך שדרגתו של קטנה מהדרגה של . לכן, . כעת, ניתן להמשיך את התהליך, עד שבסופו של דבר יתקבל כי כך שדרגת קטנה מ-.

מציאת ישר משיק לנקודה על גרף של פונקציה פולינומית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש בחלוקת פולינומים גם למציאת משוואת הישר המשיק לנקודה הנמצאת על גרף של פונצקייה פולינומית. בהינתן פונקציה ונקודה , משוואת המשיק לגרף בנקודה תהיה שארית החלוקה של ב-.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נמצא את משוואת הישר המשיק לפונקציה בנקודה .

נחלק את הפולינום ב-:

לכן, משוואת המשיק המבוקשת היא .

בדיקת יתירות מחזורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בבדיקת יתירות מחזורית משתמשים בשארית החלוקה של פולינומים עבור ניטור שגיאות בהעברת מסרים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ דרגת פולינום מוגדרת כחזקה המקסימלית של איבר עם מקדם שאיננו 0. למשל, דרגת הפולינום היא 3.
  2. ^ איך לנחש ולבדוק שורשים אמיתיים - 3 - בדיקות שורשים על ידי חלוקת פולינומים מחלקה סינתטית - Dummies 2021, No dummy
  3. ^ https://math-wiki.com/images/1/12/חילוק_פולינומים_הסבר.PDF
  4. ^ ניתן להתייחס לכל מספר קבוע שאיננו אפס כאל פולינום ממעלה 0.