חסם צ'פמן-רובינס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת האמידה ובסטטיסטיקה, חסם צ'פמן-רובינס (Chapman-Robbins Bound; לעתים חסם המרסלי-צ'פמן-רובינס) הוא חסם תחתון על השונות של אומדים של פרמטרים דטרמיניסטיים. חסם זה הינו הכללה של חסם קרמר-ראו, ובהשוואה אליו - הוא הדוק יותר ומתאים למגוון רחב יותר של בעיות. עם זאת, חישובו לרוב מסובך יותר.

החסם נגזר לראשונה ובאופן בלתי-תלוי על ידי ג'ון המרסלי ב-1950 ועל ידי דאגלס צ'פמן והרברט רובינס ב-1951. זהו מקרה פרטי של חסם ברנקין (Barankin) המורכב יותר.

החסם[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי פרמטר דטרמיניסטי לא-ידוע, ויהיה אומד של פונקציה כלשהי של הפרמטר, . יהי . הפילוג של (שתלוי ב-), ונניח כי הוא מוגדר היטב וחיובי לכל ולכל .

אם הוא אומד חסר-הטיה של , כלומר:

אז לפי חסם צ'פמן-רובינס:

.

למעשה, אי השוויון (ללא הוצאת הסופרמום) מתקיים לכל , ולכן החסם ההדוק ביותר הוא כאשר הביטוי מקבל את הסופרמום שלו לפי . התנאי לקיומו של החסם הוא שהתומך של יהיה מוכל בתומך של .

הקשר לחסם קרמר-ראו[עריכת קוד מקור | עריכה]

חסם צ'פמן-רובינס (הביטוי ללא הסופרמום) מתכנס לחסם קרמר-ראו כאשר , בהנחה שהתנאים הרגולריים הדרושים מתקיימים (ראו בערך). מתוך כך, חסם צ'פמן-רובינס הוא תמיד הדוק לכל הפחות כמו קרמר-ראו. יתר על-כן, חסם צ'פמן-רובינס קיים תחת תנאים רגולריים חלשים משמעותית מאלו של חסם קרמר-ראו. כך למשל, להוכחת החסם לא נדרש כי הפילוג יהיה גזיר. במקרים כאלו, האינפורמציה של פישר לא מוגדרת, ולכן חסם קרמר-ראו לא קיים.

הוכחת החסם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוא משערך חסר-הטיה, ולכן מתקיים:

חיסור המשוואות:

בנוסף מתקיים:

נחסיר בין שתי המשוואות האחרונות, לקבלת:

כלומר:

העלאת המשוואה בריבוע ואי-שוויון קושי-שוורץ יניבו:

ומכאן:

שזהו החסם המבוקש.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]