חפיפת מטריצות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

חפיפה היא יחס שקילות שמוגדר עבור מטריצות באופן הבא:

תהיינה מטריצות חופפות אם קיימת מטריצה הפיכה ,

כך ש: , כאשר הוא הצמוד ההרמיטי של .

ניתן להראות כי כל שתי מטריצות המייצגות את אותה תבנית ביליניארית בבסיסים שונים הן חופפות.

מכך נובע גם כי מטריצה מייצגת מכפלה פנימית אם ורק אם היא חופפת למטריצת היחידה .

הוכחה:
נניח כי חופפת ל-. מכאן נובע שקיימת מטריצה הפיכה כך ש-. לכן .

כלומר הרמיטית. נותר להוכיח כי מטריצה חיובית. יהא . אזי .

הביטוי האחרון שקיבלנו הוא המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-, לכן .

שוויון מתקבל אם ורק אם , וכיוון ש- הפיכה, אזי השוויון יתקבל אם ורק אם . כלומר חיובית לחלוטין.

נניח כי מייצגת מכפלה פנימית. אזי הרמיטית וחיובית לחלוטין.

תהי מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי לבסיס אורתונורמלי במובן הבא (הדלתא של קרונקר).

אזי שכן . מ.ש.ל.


P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.