חפיפת מטריצות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

חפיפה היא יחס שקילות שמוגדר עבור מטריצות באופן הבא:

תהיינה מטריצות חופפות אם קיימת מטריצה הפיכה ,

כך ש: , כאשר הוא הצמוד ההרמיטי של P.

ניתן להראות כי כל שתי מטריצות המייצגות את אותה תבנית ביליניארית בבסיסים שונים הן חופפות.

מכך נובע גם כי מטריצה מייצגת מכפלה פנימית אם ורק אם היא חופפת למטריצת היחידה .

הוכחה:
נניח כי חופפת ל-. מכאן נובע שקיימת מטריצה הפיכה כך ש-. לכן .

כלומר הרמיטית. נותר להוכיח כי מטריצה חיובית. יהא . אזי .

הביטוי האחרון שקיבלנו הוא המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-, לכן .

שוויון מתקבל אמ"מ , וכיוון ש- הפיכה, אזי השוויון יתקבל אמ"מ . כלומר חיובית לחלוטין.

נניח כי A מייצגת מכפלה פנימית. אזי A הרמיטית וחיובית לחלוטין.

תהי P מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי לבסיס אורתונורמלי במובן הבא (הדלתא של קרונקר).

אזי שכן . מ.ש.ל.


P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.