חשבון אינפיניטסימלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חשבון אִינְפִינִיטְסִימָלִי (נקרא גם חדו"א, ראשי תיבות של: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי; באנגלית: Calculus - קלקולוס; במונחי האקדמיה ללשון העברית: חֶשְׁבּוֹן-הָאֵינְסוֹפִיִּים) הוא ענף של המתמטיקה שחוקר שינוי. התחום מבוסס רובו ככולו על המושג גבול שמאפשר לעסוק בתוצאה של תהליכים אינסופיים. על בסיס רעיון הגבול נבנים ונחקרים מושגי יסוד כגון סדרה, סכום אינסופי, רציפות, נגזרת ואינטגרל. תחילתו של הענף בעבודותיהם של אייזק ניוטון ושל גוטפריד וילהלם לייבניץ, אם כי קדמו להם, בצעדים ראשונים לקראת תחום זה, ארכימדס, בארו, דקארט, פרמה והויגנס.

על בסיסו של החשבון האינפיניטסימלי בנוי ענף האנליזה המתמטית שעוסקת ביישום כלים מחשבון האינפיניטסימלי במגוון רחב של עיסוקים מתמטיים. מעבר לכך, לחשבון האינפיניטסימלי חשיבות מכרעת בכל תחומי המדע (בייחוד בפיזיקה), וכן בהנדסה, כלכלה ותחומים נוספים.

עיקרי החשבון האינפיניטסימלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

לחשבון האינפיניטסימלי שני ענפים עיקריים:

  • חשבון דיפרנציאלי: עוסק בחישוב השיעור הרגעי של השינוי (הנגזרת) בערכי פונקציה בהתאם לשינוי בערכי המשתנים. חישוב הנגזרת מאפשר לקבוע את המשיק לפונקציה בכל נקודה, את המעבר מפונקציה המתארת מהירות לזו המתארת תאוצה ועוד. החשבון הדיפרנציאלי מאפשר את פיתוחם של קירובים דוגמת טור טיילור ושיטת ניוטון-רפסון.
  • חשבון אינטגרלי (במונחי האקדמיה ללשון העברית: חשבון אִסְכּוּם): עוסק בדרכים לחישוב האינטגרל של פונקציה. חישוב האינטגרל מאפשר לחשב את השטח הכלוא מתחת לעקום, וכן לחשב את שטח הפנים והנפח של גופים שונים.

המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי קובע שגזירה (חישוב הנגזרת) ואינטגרציה (חישוב האינטגרל) הן פעולות הפוכות זו לזו. תגלית זו של ניוטון ולייבניץ (בנפרד, וכמעט באותו זמן) הביאה לשלל תוצאות לאחר שעבודותיהם התפרסמו.

מהחשבון האינפיניטסימלי התפתחו ענפי מתמטיקה נוספים: משוואות דיפרנציאליות, אנליזה וקטורית, טופולוגיה דיפרנציאלית ותורת המידה. לחשבון האינפיניטסימלי שימוש נרחב בפיזיקה ובהנדסה.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – היסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי

אף שכבר ארכימדס השתמש בשיטות אינטגרציה, ורבים (בארו, פרמה, ואליס ואחרים) הגיעו לרעיון הנגזרת, יצירת החשבון האינפיניטסימלי כפי שהוא מוכר לנו כיום מיוחסת לניוטון וללייבניץ, בסוף המאה ה-17. ניוטון ולייבניץ, שכל אחד מהם פעל בתחום זה באופן עצמאי, הגיעו לתוצאות דומות. ניוטון סיפק שלל שימושים בפיזיקה, אך מערכת הסימונים שהציע לייבניץ התגלתה כגמישה יותר והיא שנעשתה נפוצה.

ניוטון פיתח את התאוריה שלו בין חורף 1664 לאוקטובר 1666, והפקיד סיכום של עבודתו בידי ג'ון קולינס, יועצו של מזכיר החברה המלכותית הבריטית. לייבניץ החל לעבוד בנושא ב-1673. בין לייבניץ לניוטון פרץ סכסוך מר על הבכורה ביצירה זו, וכתוצאה ממנו נוצר חיץ, במשך שנים רבות, בין הפעילות המתמטית בממלכה המאוחדת לזו שבשאר אירופה. כתוצאה מכך התעכבה ההתפתחות של החשבון האינפיניטסימלי בממלכה המאוחדת, ורק בתחילת המאה ה-19 אימצו הבריטים את מערכת המושגים והסימונים האירופית.

לייבניץ, ובייחוד ניוטון, ביססו את החדו"א על מושג ה"אינפיניטסימל" שהוא מספר ממשי "קטן באופן אינסופי". באופן יותר מדויק, ה"אינפיניטסימל" הוא גודל מתמטי (לא-שלילי) שקטן מכל מספר חיובי אך איננו אפס. גודל שכזה איננו יכול להיות מספר ממשי והוא מכיל סתירות עצמיות.

בעקבות מתקפה פילוסופית של ג'ורג' ברקלי ודייוויד יום על היסודות הלוגים של החשבון האינפיניסטימלי של ניוטון, היה צורך לבסס את התחום על יסודות לוגיים מוצקים. במאה ה-19 הצליח המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי לבסס את מושג הגבול באמצעות גדלים ממשיים וסופיים בלבד. ההגדרות של קושי החליפו את השימוש במושג האינפיניסטימל בשימוש במספרים ממשיים שיכולים להיות "קטנים כרצוננו" או "גדולים כרצוננו", והגבול הפך למספר שאליו אפשר להגיע "קרוב כרצוננו". כך, למשל, הגבול של סדרה הוגדר בצורה הבאה: סדרה \{ a_n \}_{n=1}^{\infty} מתכנסת לגבול L אם לכל 0 < \varepsilon קטן כרצוננו קיים n_0 כך שלכל n_0 < n מתקיים | a_n - L | < \varepsilon (כלומר: המרחק בין כמעט כל איברי הסדרה לגבול L קטן כרצוננו). הגדרת הגבול של קושי נהפכה לאבן היסוד של התחום בצורתו המודרנית. את ביסוס תורת הגבולות והטופולוגיה של הישר הממשי ביצעו בנוסף לקושי גם קארל ויירשטראס ובולצאנו. תרמו גם לגראנז', דארבו ורימן.

בצורתו החדשה, החשבון האינפיניסטימלי היה אמין יותר אך היה מבוסס כולו על תכונות המספרים הממשיים, מושג שהוגדר אז באופן גאומטרי. בסוף המאה ה-19, המתמטיקאים גיאורג קנטור ודדקינד בנו ייצוגים קונקרטיים למספרים הממשיים, שהתבססו על תורת הקבוצות, במטרה לבסס את המושגים המתמטיים על ידי מושג הקבוצה.

בתחילת המאה ה-20, נעשו מספר ניסיונות על ידי כמה מתמטיקאים להכליל את מושג האינטגרל. וזאת מכיוון שהאינטגרל של רימן לוקה בכמה חסרונות. לדוגמה, אוסף הפונקציות שעליהן ניתן לבצע אינטגרציה לפי רימן אינו שלם לפי מספר נורמות טבעיות. ההכללה הטובה ביותר הייתה זו של אנרי לבג, אשר פיתח את תורת המידה (שבמרכזה מידת לבג שהיא מידה המכלילה את מושג האורך) ואת אינטגרל לבג.

אנליזה מתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אנליזה ("ניתוח") הוא יישום הכלים של החדו"א לחקר גדלים מתמטיים שונים וההשתנויות שלהם.

להרבה ענפים במתמטיקה יש תחום אנליזה מתאים:

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • לפרק ההיסטוריה:
    • The Calculus War, review by Brian E. Blank, Notices of the American Mathematical Society, 56(5), 2009, 602-610.
    • A. Rupert Hall, Philosophers at war: The Quarrel Between Newton and Leibnitz, Cambridge Univ. Press, 1980.
    • Richard S. Westfall, Never at Rest: A biography of Isaac Newton, Cambridge Univ. Press, 1980.
    • Joseph H. Hofmann, Leibnitz in Paris 1672-1676: His growth to Mathematical maturity, Cambridge Univ. Press, 1974.